Le crible d'Ératosthène - Exercice 1

Soit $$m$$ le premier nombre non barré à une étape : $$m$$ n'est multiple d'aucun des nombres entourés avant lui (sinon il aurait été barré).
$$\red{\text{Raisonnement par l'absurde}}$$ :
Supposons que $$m$$ n'est pas premier. D'après la fiche « Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini », son plus petit diviseur premier $$d$$ vérifie $$2\le d\lt m$$.
$$d$$ est premier : ses seuls diviseurs sont $$1$$ et $$d$$, il n'a donc jamais été barré. Comme $$d\lt m$$, il a été entouré avant $$m$$, et tous ses multiples ont alors été barrés.
$$m$$, qui est un multiple de $$d$$, a donc été barré : on arrive à une contradiction. C'est donc que l'hypothèse faite est fausse.

Après $$7$$, le premier nombre non barré est $$11$$, et $$11^{2}=121\gt 100$$.
Soit $$n$$ un entier non premier tel que $$2\le n\le 100$$. Son plus petit diviseur premier $$d$$ vérifie $$d\le \sqrt{n}\le \sqrt{100}$$, c'est-à-dire $$d\le 10$$ : $$d$$ est donc égal à $$2$$, $$3$$, $$5$$ ou $$7$$, et $$n$$ a déjà été barré comme multiple de $$d$$.

Les nombres entourés sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à $$100$$ ; chaque nombre barré l'est dans la couleur de son plus petit diviseur premier :

Il y a $$25$$ nombres premiers inférieurs ou égaux à $$100$$.