Exercices types : 2ᵉ partie - Exercice 1

$$3\times 27=81=2\times 40+1$$, donc :
De plus : $$\left(5-1\right)\times\left(11-1\right)=4\times 10=40$$ .
L'égalité $$81=2\times 40+1$$ servira à la question $$4$$.

$$c\equiv 2^{3}\left[55\right]$$, c'est-à-dire $$c\equiv 8\left[55\right]$$.
Comme $$0\le 8\le 54$$ :

Comme $$m$$ est premier avec $$55=5\times 11$$, $$m$$ est non divisible par $$5$$ et non divisible par $$11$$.
$$\text{\pink{D'une part :}}$$
$$\blue{5}$$ est un nombre premier et $$\pink{m}$$ est non divisible par $$\blue{5}$$ . D'après le petit théorème de Fermat on a alors : $$\pink{m}^{\blue{5}-1} \equiv 1\left[\blue{5}\right]$$, autrement dit $$m^{4}\equiv 1\left[5\right]$$.
Donc $$\left(m^{4}\right)^{10}\equiv 1^{10}\left[5\right]$$, c'est-à-dire $$m^{40}\equiv 1\left[5\right]$$.
$$\text{\pink{D'autre part :}}$$
$$\blue{11}$$ est un nombre premier et $$\pink{m}$$ est non divisible par $$\blue{11}$$ . D'après le petit théorème de Fermat on a alors : $$\pink{m}^{\blue{11}-1} \equiv 1\left[\blue{11}\right]$$, autrement dit $$m^{10}\equiv 1\left[11\right]$$.
Donc $$\left(m^{10}\right)^{4}\equiv 1^{4}\left[11\right]$$, c'est-à-dire $$m^{40}\equiv 1\left[11\right]$$.
Ainsi $$5$$ et $$11$$ divisent $$m^{40}-1$$, et $$5$$ et $$11$$ sont premiers entre eux : d'après le corollaire du théorème de Gauss, $$5\times 11=55$$ divise $$m^{40}-1$$.

D'après la question $$1$$ : $$3\times 27=81=2\times 40+1$$.
$$c\equiv m^{3}\left[55\right]$$, donc $$c^{27}\equiv \left(m^{3}\right)^{27}\left[55\right]$$, c'est-à-dire $$c^{27}\equiv m^{81}\left[55\right]$$.
Or $$m^{81}=m^{2\times 40+1}=\left(m^{40}\right)^{2}\times m$$ et, d'après la question $$3$$, $$\left(m^{40}\right)^{2}\equiv 1^{2}\left[55\right]$$.
Donc $$m^{81}\equiv 1\times m\left[55\right]$$, c'est-à-dire $$m^{81}\equiv m\left[55\right]$$.

$$8^{2}=64=1\times 55+9$$, donc $$8^{2}\equiv 9\left[55\right]$$.
$$8^{4}=\left(8^{2}\right)^{2}\equiv 9^{2}\left[55\right]$$ et $$9^{2}=81=1\times 55+26$$, donc $$8^{4}\equiv 26\left[55\right]$$.
$$8^{8}\equiv 26^{2}\left[55\right]$$ et $$26^{2}=676=12\times 55+16$$, donc $$8^{8}\equiv 16\left[55\right]$$.
$$8^{16}\equiv 16^{2}\left[55\right]$$ et $$16^{2}=256=4\times 55+36$$, donc $$8^{16}\equiv 36\left[55\right]$$.
Or $$27=16+8+2+1$$, donc $$8^{27}=8^{16}\times 8^{8}\times 8^{2}\times 8$$ :
$$8^{27}\equiv 36\times 16\times 9\times 8\left[55\right]$$
$$36\times 16=576=10\times 55+26$$, donc $$8^{27}\equiv 26\times 9\times 8\left[55\right]$$
$$26\times 9=234=4\times 55+14$$, donc $$8^{27}\equiv 14\times 8\left[55\right]$$
$$14\times 8=112=2\times 55+2$$, donc $$8^{27}\equiv 2\left[55\right]$$.