Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

La décomposition de $$A$$ en produit de facteurs premiers est : $$A=2^{\red{5}}\times 5^{\blue{n}}\times 11^{\pink{n}}$$
Le nombre de diviseurs $$N$$ est alors :
$$N=\left(\red{5}+1\right)\left(\blue{n}+1\right)\left(\pink{n}+1\right)$$
Ainsi :
Il faut donc que $$N<42$$ ainsi :
$$6\left(n+1\right)^{2} <42$$
$$\left(n+1\right)^{2} <\frac{42}{6}$$
$$\left(n+1\right)^{2} <7$$
$$n+1<\sqrt{7}$$ . Or : $$\sqrt{7} \approx 2,64$$ . Donc nous souhaitons les entiers de la forme $$n+1$$ strictement plus petit que $$\sqrt{7}$$ . Ainsi :
$$n+1\le 2$$
$$n\le 2-1$$
$$n\le 1$$
Or nous savons que $$n$$ est un entier naturel non nul, de ce fait $$n=1$$ .
Il en résulte donc que :
$$A=2^{\red{5}}\times 5^{\blue{1}}\times 11^{\pink{1}}$$ c'est à dire
De plus, le nombre de diviseurs positifs de $$A$$ est alors :
$$N=6\left(n+1\right)^{2}$$ c'est à dire :
$$A$$ a donc $$24$$ diviseurs positifs.