Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Tout d'abord écrivons $$61p$$ comme le produit de deux facteurs en fonction de $$n$$.
$$n^{2} = 61p + 4$$ équivaut successivement à :
$$n^{2} -4= 61p$$
$$\left(n-2\right)\left(n+2\right)=61p$$
Nous venons de montrer que $$\left(n-2\right)\left(n+2\right)=61p$$ .
$$61$$ est un nombre premier et $$\red{61}$$ divise le produit $$\left(\purple{n-2}\right)\left(\blue{n+2}\right)$$. Il y a donc deux éventualités :
$$\red{61}$$ divise $$\purple{n-2}$$ ou $$\red{61}$$ divise $$\blue{n+2}$$
$$\text{\green{Premier cas :}}$$
Dans le cas où $$\red{61}$$ divise $$\purple{n-2}$$, il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$n-2=61k$$.
En remplaçant dans l'équation $$\left(n-2\right)\left(n+2\right)=61p$$ il vient que :
$$61k\times \left(n+2\right)=61p$$
$$k\times \left(n+2\right)=p$$ . D'après les hypothèses, nous savons que $$p$$ est un nombre premier. Il est donc obligatoire que l'un de ses facteurs soient égale à $$1$$ . Ainsi $$k=1$$. Or $$n-2=61k$$ d'où $$n-2=61$$ ainsi $$n=63$$ . Pour la valeur de $$p$$ nous savons que $$\left(n+2\right)=p$$ ainsi $$p=65$$ . Mais ici $$p$$ n'est pas premier car divisible par $$5$$ .
$$\text{\green{Second cas :}}$$
Dans le cas où $$\red{61}$$ divise $$\purple{n+2}$$, il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$n+2=61k$$.
En remplaçant dans l'équation $$\left(n-2\right)\left(n+2\right)=61p$$ il vient que :
$$\left(n-2\right)\times 61k=61p$$
$$\left(n-2\right)\times k=p$$ . D'après les hypothèses, nous savons que $$p$$ est un nombre premier. Il est donc obligatoire que l'un de ses facteurs soient égale à $$1$$ . Ainsi $$k=1$$. Or $$n+2=61k$$ d'où $$n+2=61$$ ainsi $$n=59$$ . Pour la valeur de $$p$$ nous savons que $$\left(n-2\right)=p$$ ainsi $$p=57$$ . Mais ici $$p$$ n'est pas premier car divisible par $$3$$ .
$$\text{\green{Conclusion :}}$$
Il n'existe pas d'entier $$n$$ tel que $$n^{2} = 61p + 4$$ où $$p$$ soit premier.