Nombres premiers

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

10 min
25
Question 1

Montrer que 429+529−94^{29}+5^{29}-9 est divisible par 22 .

Correction
Soient aa un nombre et nn un entier non nul.
  • Si aa est pair alors ana^{n} l'est également.
  • Si aa est impair alors ana^{n} l'est également.
    • 44 étant pair alors 4294^{29} est également pair .
    55 étant impair alors 5295^{29} est également impair.
  • De plus, si on soustrait\red{\text{soustrait}} deux nombres de même parité alors le résultat sera pair.
    • Or 5295^{29} est impair et 99 est impair donc 529−95^{29}-9 est alors pair.
  • De plus, si on additionne\red{\text{additionne}} deux nombres de même parité alors le résultat sera pair.
    • 0r 529−95^{29}-9 est pair et 4294^{29} est pair donc 429+529−94^{29}+5^{29}-9 est pair .
    On peut alors conclure que 429+529−94^{29}+5^{29}-9 est divisible par 22
    Question 2

    Montrer que 428−14^{28}-1 est divisible par 2929 .

    Correction
      Petit theˊoreˋme de Fermat\red{\text{Petit théorème de Fermat}}
  • p\blue{p} désigne un nombre premier et a\pink{a} un nombre entier naturel non divisible par p\blue{p} .
    Alors ap−1−1\pink{a}^{\blue{p}-1}-1 est divisible par pp c'est à dire ap−1≡1[p]\pink{a}^{\blue{p}-1} \equiv 1\left[\blue{p}\right]
    • 29\blue{29} est un nombre premier.
    4\pink{4} est non divisible par 29\blue{29} .
    D'après le petit théorème de Fermat on a alors : 429−1≡1[29]\pink{4}^{\blue{29}-1} \equiv 1\left[\blue{29}\right]
    Autrement dit :
    428≡1[29]4^{28} \equiv 1\left[29\right]
    D'où :
    428−1≡0[29]4^{28} -1\equiv 0\left[29\right]

    Il en résulte donc que 428−14^{28}-1 est bien divisible par 2929 .
    Question 3

    Montrer que 528−15^{28}-1 est divisible par 2929 .

    Correction
      Petit theˊoreˋme de Fermat\red{\text{Petit théorème de Fermat}}
  • p\blue{p} désigne un nombre premier et a\pink{a} un nombre entier naturel non divisible par p\blue{p} .
    Alors ap−1−1\pink{a}^{\blue{p}-1}-1 est divisible par pp c'est à dire ap−1≡1[p]\pink{a}^{\blue{p}-1} \equiv 1\left[\blue{p}\right]
    • 29\blue{29} est un nombre premier.
    5\pink{5} est non divisible par 29\blue{29} .
    D'après le petit théorème de Fermat on a alors : 529−1≡1[29]\pink{5}^{\blue{29}-1} \equiv 1\left[\blue{29}\right]
    Autrement dit :
    528≡1[29]5^{28} \equiv 1\left[29\right]
    D'où :
    528−1≡0[29]5^{28} -1\equiv 0\left[29\right]

    Il en résulte donc que 528−15^{28}-1 est bien divisible par 2929 .
    Question 4

    Peut-on alors affirmer que 5858 divise 429+529−94^{29}+5^{29}-9 ? Justifier .

    Correction
    La congruence est compatible avec le produit\red{\text{avec le produit}} :
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
    Alors : a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • D'après les questions précédentes, nous avons montré que : 428≡1[29]4^{28} \equiv 1\left[29\right] et 528≡1[29]5^{28} \equiv 1\left[29\right]
    D’une part :\text{\pink{D'une part :}}
    428≡1[29]\red{4^{28}} \equiv \red{1}\left[29\right] et 4≡4[29]\blue{4} \equiv \blue{4}\left[29\right] ce qui permet d'écrire que : 428×4≡1×4[29]\red{4^{28}} \times \blue{4} \equiv \red{1}\times \blue{4}\left[29\right] d'où : 429≡4[29]4^{29} \equiv 4\left[29\right]
    D’autre part :\text{\pink{D'autre part :}}
    528≡1[29]\red{5^{28}} \equiv \red{1}\left[29\right] et 5≡5[29]\blue{5} \equiv \blue{5}\left[29\right] ce qui permet d'écrire que : 428×5≡1×5[29]\red{4^{28}} \times \blue{5} \equiv \red{1}\times \blue{5}\left[29\right] d'où : 529≡5[29]5^{29} \equiv 5\left[29\right]
    La congruence est compatible avec l’addition\red{\text{avec l'addition}} :
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
    Alors : a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
    • On a donc :
    429+529≡4+5[29]4^{29} +5^{29}\equiv 4+5\left[29\right]
    429+529≡9[29]4^{29} +5^{29}\equiv 9\left[29\right]
    Ainsi : 429+529−9≡0[29]4^{29} +5^{29}-9\equiv 0\left[29\right]
    Il en résulte donc que 2929 divise 429+529−94^{29} +5^{29}-9 .
    Or d'après la question 11, nous avons vu que 22 divise 429+529−94^{29} +5^{29}-9.
    22 et 2929 sont premiers entre eux alors d'après le corollaire du théorème de Gauss 2×292\times 29 divise 429+529−94^{29} +5^{29}-9.
    Finalement, 5858 divise 429+529−94^{29}+5^{29}-9
    Corollaire du theˊoreˋme de Gauss :\red{\text{Corollaire du théorème de Gauss :}}
  • Soient aa, bb et cc trois entiers naturels non nuls. Si aa et bb divise cc et si aa et bb sont premiers entre eux alors abab divise cc.