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Déterminer le nombre de diviseurs d'un entier naturel - Exercice 2

8 min
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Question 1

Déterminer le nombre de diviseurs de 8  8208\;820 .

Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 8  8208\;820 en produit de facteurs premiers : 8  820=22×32×51×728\;820=2^{\red{2}}\times 3^{\blue{2}}\times5^{\pink{1}}\times7^{\green{2}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(2+1)(1+1)(2+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{2}+1\right)\left(\pink{1}+1\right)\left(\green{2}+1\right)
    Ainsi :
    N=54N=54

    Il y a donc 5454 diviseurs distincts pour 8  8208\;820 .
    Question 2

    Déterminer le nombre de diviseurs de 2  8732\;873 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 2  8732\;873 en produit de facteurs premiers : 2  873=132×1712\;873=13^{\red{2}}\times 17^{\blue{1}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(1+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{1}+1\right)
    Ainsi :
    N=6N=6

    Il y a donc 66 diviseurs distincts pour 2  8732\;873 .
    Question 3

    Déterminer le nombre de diviseurs de 2  9252\;925 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 2  9252\;925 en produit de facteurs premiers : 2  925=52×91×1312\;925=5^{\red{2}}\times 9^{\blue{1}}\times13^{\pink{1}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(1+1)(1+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{1}+1\right)\left(\pink{1}+1\right)
    Ainsi :
    N=12N=12

    Il y a donc 1212 diviseurs distincts pour 2  9252\;925 .
    Question 4

    Déterminer le nombre de diviseurs de 731731 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 731731 en produit de facteurs premiers : 731=171×431731=17^{\red{1}}\times 43^{\blue{1}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(1+1)(1+1)N=\left(\red{1}+1\right)\left(\blue{1}+1\right)
    Ainsi :
    N=4N=4

    Il y a donc 44 diviseurs distincts pour 731731 .

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