Nombres premiers

Déterminer le nombre de diviseurs d'un entier naturel - Exercice 1

8 min
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Question 1

Déterminer le nombre de diviseurs de 8484 .

Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 8484 en produit de facteurs premiers : 84=22×31×7184=2^{\red{2}}\times 3^{\blue{1}}\times7^{\pink{1}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(1+1)(1+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{1}+1\right)\left(\pink{1}+1\right)
    Ainsi :
    N=12N=12

    Il y a donc 1212 diviseurs distincts pour 8484 .
    Question 2

    Déterminer le nombre de diviseurs de 324324 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 324324 en produit de facteurs premiers : 324=22×34324=2^{\red{2}}\times 3^{\blue{4}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(4+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{4}+1\right)
    Ainsi :
    N=15N=15

    Il y a donc 1515 diviseurs distincts pour 324324 .
    Question 3

    Déterminer le nombre de diviseurs de 450450 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 450450 en produit de facteurs premiers : 450=21×32×52450=2^{\red{1}}\times 3^{\blue{2}}\times5^{\pink{2}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(1+1)(2+1)(2+1)N=\left(\red{1}+1\right)\left(\blue{2}+1\right)\left(\pink{2}+1\right)
    Ainsi :
    N=18N=18

    Il y a donc 1818 diviseurs distincts pour 450450 .
    Question 4

    Déterminer le nombre de diviseurs de 196196 .

    Correction
  • Soit un nombre nn (n>2)\left(n > 2\right) dont la décomposition en facteurs premiers est : n=p1α1×p2α2×p3α3×…×pmαmn=p_{1}^{\red{\alpha _{1}} } \times p_{2}^{\blue{\alpha _{2}} } \times p_{3}^{\pink{\alpha _{3} }} \times \ldots \times p_{m}^{\purple{\alpha _{m}} }
    où p1,p2,p3,…,pmp_{1} ,p_{2} ,p_{3} ,\ldots ,p_{m} des nombres premiers distincts et α1,α2,α3,…,αm\red{\alpha _{1}} ,\blue{\alpha _{2}} ,\pink{\alpha _{3}} ,\ldots ,\purple{\alpha _{m}} des entiers naturels non nuls.
    Le nombre de diviseurs NN est alors : N=(α1+1)(α2+1)(α3+1)…(αm+1)N=\left(\red{\alpha _{1}}+1\right)\left(\blue{\alpha _{2}}+1\right)\left(\pink{\alpha _{3}}+1\right)\ldots\left(\purple{\alpha _{m}}+1\right)
    • On décompose 196196 en facteurs premiers : 196=22×72196=2^{\red{2}}\times 7^{\blue{2}}
    Le nombre de diviseurs NN est alors :
    N=(2+1)(2+1)N=\left(\red{2}+1\right)\left(\blue{2}+1\right)
    Ainsi :
    N=9N=9

    Il y a donc 99 diviseurs distincts pour 196196 .