Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini - Exercice 1

L'ensemble des diviseurs de $$n$$ supérieurs ou égaux à $$2$$ n'est pas vide, car il contient $$n$$ lui-même.
Or toute partie non vide de $$\mathbb{N}$$ admet un plus petit élément : $$n$$ admet donc un plus petit diviseur $$\red{d}$$ tel que $$\red{d}\geq 2$$.
$$\red{\text{Raisonnement par l'absurde}}$$ :
Supposons que $$d$$ n'est pas premier. Comme $$d\geq 2$$, il admet alors un diviseur $$d'$$ tel que $$1\lt d'\lt d$$.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$d'$$ divise $$d$$ et $$d$$ divise $$n$$, donc $$d'$$ divise $$n$$.
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$d'\geq 2$$ et $$d'\lt d$$.
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
$$d'$$ est un diviseur de $$n$$ supérieur ou égal à $$2$$ et strictement plus petit que $$d$$ : cela contredit le fait que $$d$$ est le plus petit. C'est donc que l'hypothèse faite est fausse.
Il en résulte donc que :
En particulier, tout entier naturel $$n\geq 2$$ admet au moins un diviseur premier.

Comme $$n$$ n'est pas premier, il admet un diviseur strictement compris entre $$1$$ et $$n$$ : donc $$d\lt n$$.
$$d$$ divise $$n$$ : il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$n=\red{d}\times\blue{k}$$.
$$\blue{k}=\dfrac{n}{d}$$ est aussi un diviseur de $$n$$, et $$k\geq 2$$ car $$d\lt n$$.
Comme $$d$$ est le plus petit diviseur de $$n$$ supérieur ou égal à $$2$$, on a : $$\red{d}\le \blue{k}$$.
En multipliant par $$d\gt 0$$ : $$d^{2}\le d\times k$$, c'est-à-dire $$d^{2}\le n$$.
La fonction racine carrée étant croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$ :
Autrement dit, si $$n$$ n'a aucun diviseur premier inférieur ou égal à $$\sqrt{n}$$, alors $$n$$ est premier : c'est la méthode utilisée dans la fiche « Reconnaitre si un entier est un nombre premier ».

Dans un premier temps, calculons $$\sqrt{221}\approx 14{,}87$$ . L'entier premier qui précède $$\sqrt{221}$$ est $$13$$ .

Dans notre situation, on effectue la division euclidienne de $$221$$ par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à $$\sqrt{221}$$ c'est-à-dire $$13$$ .

Il vient alors :
$$221=110\times 2+1$$ . Donc $$221$$ n'est pas divisible par $$2$$ .
$$221=73\times 3+2$$ . Donc $$221$$ n'est pas divisible par $$3$$ .
$$221=44\times 5+1$$ . Donc $$221$$ n'est pas divisible par $$5$$ .
$$221=31\times 7+4$$ . Donc $$221$$ n'est pas divisible par $$7$$ .
$$221=20\times 11+1$$ . Donc $$221$$ n'est pas divisible par $$11$$ .
$$221=17\times 13+\blue{0}$$ . Donc $$221$$ $$\red{\text{est bien divisible par}}$$ $$\red{13}$$ .
Ainsi $$221=\red{13}\times\blue{17}$$, où $$17$$ est premier, et on retrouve bien $$13\le \sqrt{221}\le 17$$ : le plus petit diviseur premier de $$221$$ est inférieur ou égal à $$\sqrt{221}$$.

Donc $$221$$ n'est pas un nombre premier.