Suites de nombres complexes - Exercice 2

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On considère la suite (zn)\left(z_{n}\right) définie par z0=0z_{0}=0 et, pour tout entier naturel nn , zn+1=izn+2z_{n+1}=iz_{n}+2 . On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right). On note MnM_{n} le point d'affixe znz_{n} .
Question 1

Calculer z1z_{1} , z2z_{2} , z3z_{3} et z4z_{4} . Que remarque-t-on ?

Correction
z1=i×0+2z_{1}=i\times 0+2 d'où :
z1=2z_{1}=2

z2=i×2+2z_{2}=i\times 2+2 d'où :
z2=2+2iz_{2}=2+2i

z3=i(2+2i)+2=2i+2i2+2=2i−2+2z_{3}=i\left(2+2i\right)+2=2i+2i^{2}+2=2i-2+2 d'où :
z3=2iz_{3}=2i

z4=i×2i+2=2i2+2=−2+2z_{4}=i\times 2i+2=2i^{2}+2=-2+2 d'où :
z4=0z_{4}=0

On remarque que z4=z0z_{4}=z_{0} : les termes de la suite se répètent de 4\red{4} en 4\red{4} . Les points M0M_{0} , M1M_{1} , M2M_{2} , M3M_{3} sont les sommets d'un carré :
Question 2

Déterminer le nombre complexe ℓ\ell tel que ℓ=iℓ+2\ell=i\ell+2 .

Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    • ℓ=iℓ+2\ell=i\ell+2 équivaut successivement à :
    ℓ−iℓ=2\ell-i\ell=2
    ℓ(1−i)=2\ell\left(1-i\right)=2
    ℓ=21−i\ell=\dfrac{2}{1-i}
    ℓ=2(1+i)(1−i)(1+i)\ell=\dfrac{2\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}
    ℓ=2+2i12+12\ell=\dfrac{2+2i}{1^{2}+1^{2}}
    Ainsi :
    ℓ=1+i\ell=1+i

    Le point d'affixe ℓ\ell est le centre du carré de la question précédente.
    Question 3

    On pose, pour tout entier naturel nn , wn=zn−ℓw_{n}=z_{n}-\ell . Démontrer que wn+1=iwnw_{n+1}=iw_{n} , puis exprimer wnw_{n} et znz_{n} en fonction de nn .

    Correction
    wn+1=zn+1−ℓw_{n+1}=z_{n+1}-\ell
    wn+1=izn+2−(iℓ+2)w_{n+1}=iz_{n}+2-\left(i\ell+2\right) car ℓ=iℓ+2\ell=i\ell+2
    wn+1=izn−iℓw_{n+1}=iz_{n}-i\ell
    wn+1=i(zn−ℓ)w_{n+1}=i\left(z_{n}-\ell\right)
    Ainsi :
    wn+1=iwnw_{n+1}=iw_{n}

    La suite (wn)\left(w_{n}\right) est donc géométrique de raison ii et de premier terme w0=z0−ℓ=−1−iw_{0}=z_{0}-\ell=-1-i . Comme dans l'exercice 1 (par récurrence), pour tout entier naturel nn :
    wn=(−1−i)inw_{n}=\left(-1-i\right)i^{n}

    Enfin zn=wn+ℓz_{n}=w_{n}+\ell d'où :
    zn=1+i−(1+i)in=(1+i)(1−in)z_{n}=1+i-\left(1+i\right)i^{n}=\left(1+i\right)\left(1-i^{n}\right)

    On vérifie : pour n=1n=1 , (1+i)(1−i)=12+12=2=z1\left(1+i\right)\left(1-i\right)=1^{2}+1^{2}=2=z_{1} .
    Question 4

    En déduire z2026z_{2026} .

    Correction
      Puissances de i\red{\text{Puissances de } i}
    Pour tout entier naturel nn : i4n=1i^{4n}=1 , i4n+1=ii^{4n+1}=i , i4n+2=−1i^{4n+2}=-1 et i4n+3=−ii^{4n+3}=-i .
    2026=4×506+22026=4\times 506+2 donc i2026=−1i^{2026}=-1 . Il vient alors :
    z2026=(1+i)(1−(−1))z_{2026}=\left(1+i\right)\left(1-\left(-1\right)\right)
    z2026=2(1+i)z_{2026}=2\left(1+i\right)
    Ainsi :
    z2026=2+2iz_{2026}=2+2i

    On retrouve z2z_{2} , ce qui est cohérent car les termes se répètent de 44 en 44 et 20262026 a pour reste 22 dans la division par 44 .

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