Suites de nombres complexes - Exercice 1

$$z_{1}=\left(1+i\right)z_{0}=\left(1+i\right)\times 1$$ d'où :
$$z_{2}=\left(1+i\right)z_{1}=\left(1+i\right)^{2}=1+2i+i^{2}$$ d'où :
$$z_{3}=\left(1+i\right)z_{2}=\left(1+i\right)\times 2i=2i+2i^{2}$$ d'où :
$$z_{4}=\left(1+i\right)z_{3}=\left(1+i\right)\left(-2+2i\right)=-2+2i-2i+2i^{2}$$ d'où :

Pour tout entier naturel $$n$$ , posons la propriété $$P_{n} : z_{n}=\left(1+i\right)^{n}$$
Étape d'initialisation
$$z_{0}=1$$ et $$\left(1+i\right)^{0}=1$$ . La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Étape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel. On suppose que la propriété $$P_{k}$$ est vraie c'est-à-dire : $$z_{k}=\left(1+i\right)^{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$z_{k+1}=\left(1+i\right)^{k+1}$$
$$z_{k+1}=\left(1+i\right)z_{k}$$
$$z_{k+1}=\left(1+i\right)\times \left(1+i\right)^{k}$$ (par hypothèse de récurrence)
$$z_{k+1}=\left(1+i\right)^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.

Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $$n$$ :
Comme pour les suites réelles, on dit que $$\left(z_{n}\right)$$ est une suite $$\red{\text{géométrique}}$$ de raison $$1+i$$ et de premier terme $$z_{0}=1$$ .

On a vu que $$\left(1+i\right)^{4}=z_{4}=-4$$ . Il vient alors :
$$z_{8}=\left(1+i\right)^{8}=\left(\left(1+i\right)^{4}\right)^{2}=\left(-4\right)^{2}$$ d'où :
$$z_{20}=\left(1+i\right)^{20}=\left(\left(1+i\right)^{4}\right)^{5}=\left(-4\right)^{5}$$ d'où :

$$z_{n+1}=\left(1+i\right)\left(x_{n}+iy_{n}\right)$$
$$z_{n+1}=x_{n}+iy_{n}+ix_{n}+i^{2}y_{n}$$
$$z_{n+1}=\red{\left(x_{n}-y_{n}\right)}+i\blue{\left(x_{n}+y_{n}\right)}$$
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, d'où :
et

On utilise les relations de la question précédente à partir de $$z_{4}=-4$$ $$\left(x_{4}=-4, y_{4}=0\right)$$ :
$$x_{5}=-4-0=-4$$ et $$y_{5}=-4+0=-4$$ d'où :
$$x_{6}=-4-\left(-4\right)=0$$ et $$y_{6}=-4+\left(-4\right)=-8$$ d'où :
$$x_{7}=0-\left(-8\right)=8$$ et $$y_{7}=0+\left(-8\right)=-8$$ d'où :
Les points $$M_{0}\left(1;0\right)$$ , $$M_{1}\left(1;1\right)$$ , $$M_{2}\left(0;2\right)$$ , $$M_{3}\left(-2;2\right)$$ , $$M_{4}\left(-4;0\right)$$ , $$M_{5}\left(-4;-4\right)$$ , $$M_{6}\left(0;-8\right)$$ et $$M_{7}\left(8;-8\right)$$ tournent autour de $$O$$ en s'en éloignant : ils dessinent une $$\red{\text{spirale}}$$ .