Puissances de ii, de 1+i1+i et du nombre jj - Exercice 3

25 min
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On pose j=−12+i32j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} .
Question 1

Calculer j2j^{2} et vérifier que j2=j‾j^{2}=\overline{j} .

Correction
On utilise l'identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2\left(\red{a}+\blue{b}\right)^{2}=\red{a}^{2}+2\red{a}\blue{b}+\blue{b}^{2} :
j2=(−12+i32)2j^{2}=\left(\red{-\dfrac{1}{2}}+\blue{i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}
j2=(−12)2+2×(−12)×i32+i2×34j^{2}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\times i\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i^{2}\times \dfrac{3}{4}
j2=14−i32−34j^{2}=\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}
Ainsi :
j2=−12−i32j^{2}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Or j‾=−12−i32\overline{j}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} : on a bien j2=j‾j^{2}=\overline{j} .
Question 2

Démontrer que 1+j+j2=01+j+j^{2}=0 et que j3=1j^{3}=1 .

Correction
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • D'après la question précédente, j2=j‾j^{2}=\overline{j} . Il vient alors :
    1+j+j2=1+j+j‾1+j+j^{2}=1+j+\overline{j}
    1+j+j2=1+2×(−12)1+j+j^{2}=1+2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right) car j+j‾j+\overline{j} est le double de la partie réelle de jj
    Ainsi :
    1+j+j2=01+j+j^{2}=0

    j3=j×j2=j×j‾j^{3}=j\times j^{2}=j\times \overline{j}
    j3=(−12)2+(32)2=14+34j^{3}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}
    Ainsi :
    j3=1j^{3}=1

    Question 3

    En déduire j2026j^{2026} , puis la forme algébrique de 1+j+j2+…+j20261+j+j^{2}+\ldots +j^{2026} .

    Correction
    Comme j3=1j^{3}=1 , les puissances de jj se répètent de 3\red{3} en 3\red{3} :
    2026=3×675+12026=3\times 675+1 d'où j2026=(j3)675×j=1675×jj^{2026}=\left(j^{3}\right)^{675}\times j=1^{675}\times j . Ainsi :
    j2026=jj^{2026}=j

    Pour tout entier naturel kk : j3k+j3k+1+j3k+2=j3k(1+j+j2)=0j^{3k}+j^{3k+1}+j^{3k+2}=j^{3k}\left(1+j+j^{2}\right)=0 .
    La somme compte 20272027 termes et 2027=3×675+22027=3\times 675+2 : les 20252025 premiers termes, de j0j^{0} à j2024j^{2024} , se regroupent en 675675 paquets de somme nulle. Il reste :
    1+j+…+j2026=j2025+j20261+j+\ldots +j^{2026}=j^{2025}+j^{2026}
    1+j+…+j2026=1+j1+j+\ldots +j^{2026}=1+j car j2025=(j3)675=1j^{2025}=\left(j^{3}\right)^{675}=1
    Ainsi :
    1+j+j2+…+j2026=12+i321+j+j^{2}+\ldots +j^{2026}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

    Question 4

    Calculer (1+j)6\left(1+j\right)^{6} .

    Correction
    D'après la relation 1+j+j2=01+j+j^{2}=0 , on a : 1+j=−j21+j=-j^{2} . Il vient alors :
    (1+j)6=(−j2)6\left(1+j\right)^{6}=\left(-j^{2}\right)^{6}
    (1+j)6=(−1)6×j12\left(1+j\right)^{6}=\left(-1\right)^{6}\times j^{12}
    (1+j)6=(j3)4\left(1+j\right)^{6}=\left(j^{3}\right)^{4}
    Ainsi :
    (1+j)6=1\left(1+j\right)^{6}=1

    On peut vérifier avec la forme algébrique 1+j=12+i321+j=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} : son carré vaut −12+i32=j-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=j , donc (1+j)6=j3=1\left(1+j\right)^{6}=j^{3}=1 .

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