Puissances de $$i$$, de $$1+i$$ et du nombre $$j$$ - Exercice 2

$$\left(1+i\right)^{2}=1^{2}+2\times 1\times i+i^{2}=1+2i-1$$ d'où :
$$\left(1+i\right)^{4}=\left(\left(1+i\right)^{2}\right)^{2}=\left(2i\right)^{2}=4i^{2}$$ d'où :
$$\left(1+i\right)^{8}=\left(\left(1+i\right)^{4}\right)^{2}=\left(-4\right)^{2}$$ d'où :

$$\left(1+i\right)^{2026}=\left(\left(1+i\right)^{2}\right)^{1013}$$
$$\left(1+i\right)^{2026}=\left(2i\right)^{1013}$$
$$\left(1+i\right)^{2026}=2^{1013}\times i^{1013}$$
Or $$1013=4\times 253+1$$ donc $$i^{1013}=i$$ .
Ainsi :
C'est un imaginaire pur.

On écrit $$n=4k+r$$ où $$k$$ est un entier naturel et $$r$$ le reste de la division euclidienne de $$n$$ par $$4$$ $$\left(r\in\left\{0;1;2;3\right\}\right)$$ .
Comme $$\left(1+i\right)^{4}=-4$$ , on a : $$\left(1+i\right)^{4k}=\left(\left(1+i\right)^{4}\right)^{k}=\left(-4\right)^{k}$$ , qui est un réel non nul.
Premier cas : $$n=4k$$ . $$\left(1+i\right)^{n}=\left(-4\right)^{k}$$ est un réel.
Deuxième cas : $$n=4k+1$$ . $$\left(1+i\right)^{n}=\left(-4\right)^{k}\left(1+i\right)=\left(-4\right)^{k}+\left(-4\right)^{k}i$$ : sa partie imaginaire $$\left(-4\right)^{k}$$ n'est pas nulle.
Troisième cas : $$n=4k+2$$ . $$\left(1+i\right)^{n}=\left(-4\right)^{k}\times 2i$$ : sa partie imaginaire $$2\times \left(-4\right)^{k}$$ n'est pas nulle.
Quatrième cas : $$n=4k+3$$ . $$\left(1+i\right)^{n}=\left(-4\right)^{k}\times 2i\left(1+i\right)=\left(-4\right)^{k}\left(-2+2i\right)$$ : sa partie imaginaire $$2\times \left(-4\right)^{k}$$ n'est pas nulle.
Il en résulte donc que :