Puissances de $i$ , de $1+i$ et du nombre $j$ - Exercice 1

20 min

Puissances du nombre

i

Question 1

Calculer $i^{2}$ , $i^{3}$ , $i^{4}$ , $i^{5}$ , $i^{6}$ , $i^{7}$ et $i^{8}$ . Que remarque-t-on ?

Correction

i^{2}=-1

par définition, puis on multiplie à chaque fois par

i

i^{3}=i^{2}\times i=-i

i^{4}=i^{3}\times i=-i^{2}=1

i^{5}=i^{4}\times i=i

i^{6}=i^{5}\times i=i^{2}=-1

i^{7}=i^{6}\times i=-i

i^{8}=i^{7}\times i=-i^{2}=1

On remarque que les puissances de

i

se répètent de

\red{4}

\red{4}

1

i

-1

-i

, puis à nouveau

1

i

-1

-i

…

Question 2

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $i^{4n}=1$ , $i^{4n+1}=i$ , $i^{4n+2}=-1$ et $i^{4n+3}=-i$ .

Correction

Soit

n

un entier naturel.

i^{4n}=\left(i^{4}\right)^{n}=1^{n}

d'où :

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i^{4n}\times i=1\times i

d'où :

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=i^{4n}\times i^{2}=1\times \left(-1\right)

d'où :

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=i^{4n}\times i^{3}=1\times \left(-i\right)

d'où :

i^{4n+3}=-i

Pour calculer

i^{N}

, il suffit donc de connaître le reste de la division euclidienne de

N

par

4

Question 3

En déduire $i^{2026}$ , $i^{2027}$ , puis la forme algébrique de $\dfrac{1}{i^{2027}}$ .

Correction

\red{\text{Puissances de } i}

Pour tout entier naturel

n

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i

Effectuons la division euclidienne de

2026

par

4

2026=4\times 506+2

. Il vient alors :

i^{2026}=i^{4\times 506+2}

d'où :

i^{2026}=-1

De même

2027=4\times 506+3

donc

i^{2027}=i^{4\times 506+3}

d'où :

i^{2027}=-i

\dfrac{1}{i^{2027}}=\dfrac{1}{-i}

\dfrac{1}{i^{2027}}=\dfrac{1\times i}{-i\times i}

\dfrac{1}{i^{2027}}=\dfrac{i}{-i^{2}}

Ainsi :

\dfrac{1}{i^{2027}}=i

Question 4

Calculer $S=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots +i^{2026}$ .

Correction

Pour tout entier naturel

k

, quatre puissances consécutives de

i

ont une somme nulle :

i^{4k}+i^{4k+1}+i^{4k+2}+i^{4k+3}=1+i-1-i=0

La somme

S

compte

2027

termes, de

i^{0}

i^{2026}

, et

2027=4\times 506+3

.
Les

4\times 506=2024

premiers termes, de

i^{0}

i^{2023}

, se regroupent en

506

paquets de quatre termes consécutifs, chacun de somme nulle. Il reste les trois derniers termes :

S=i^{2024}+i^{2025}+i^{2026}

S=i^{4\times 506}+i^{4\times 506+1}+i^{4\times 506+2}

S=1+i-1

Ainsi :

S=i

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Puissances de iii, de 1+i1+i1+i et du nombre jjj - Exercice 1

Calculer i2i^{2}i2 , i3i^{3}i3 , i4i^{4}i4 , i5i^{5}i5 , i6i^{6}i6 , i7i^{7}i7 et i8i^{8}i8 . Que remarque-t-on ?

Démontrer que, pour tout entier naturel nnn : i4n=1i^{4n}=1i4n=1 , i4n+1=ii^{4n+1}=ii4n+1=i , i4n+2=−1i^{4n+2}=-1i4n+2=−1 et i4n+3=−ii^{4n+3}=-ii4n+3=−i .

En déduire i2026i^{2026}i2026 , i2027i^{2027}i2027 , puis la forme algébrique de 1i2027\dfrac{1}{i^{2027}}i20271​ .

Calculer S=1+i+i2+i3+…+i2026S=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots +i^{2026}S=1+i+i2+i3+…+i2026 .

Puissances de $i$ , de $1+i$ et du nombre $j$ - Exercice 1

Calculer $i^{2}$ , $i^{3}$ , $i^{4}$ , $i^{5}$ , $i^{6}$ , $i^{7}$ et $i^{8}$ . Que remarque-t-on ?

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $i^{4n}=1$ , $i^{4n+1}=i$ , $i^{4n+2}=-1$ et $i^{4n+3}=-i$ .

En déduire $i^{2026}$ , $i^{2027}$ , puis la forme algébrique de $\dfrac{1}{i^{2027}}$ .

Calculer $S=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots +i^{2026}$ .