Propriétés du conjugué : démonstrations et utilisations - Exercice 4

25 min
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On considère le polynôme PP défini pour tout nombre complexe zz par : P(z)=z3−3z2+4z−2P\left(z\right)=z^{3}-3z^{2}+4z-2 .
Question 1

Vérifier que 1+i1+i est une solution de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .

Correction
(1+i)2=1+2i+i2=2i\left(1+i\right)^{2}=1+2i+i^{2}=2i
(1+i)3=(1+i)2×(1+i)=2i(1+i)=2i+2i2=−2+2i\left(1+i\right)^{3}=\left(1+i\right)^{2}\times \left(1+i\right)=2i\left(1+i\right)=2i+2i^{2}=-2+2i
Il vient alors :
P(1+i)=(−2+2i)−3×2i+4(1+i)−2P\left(1+i\right)=\left(-2+2i\right)-3\times 2i+4\left(1+i\right)-2
P(1+i)=−2+2i−6i+4+4i−2P\left(1+i\right)=-2+2i-6i+4+4i-2
Ainsi :
P(1+i)=0P\left(1+i\right)=0

1+i1+i est donc bien une solution de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .
Question 2

Démontrer que, pour tout nombre complexe zz , P(z)‾=P(z‾)\overline{P\left(z\right)}=P\left(\overline{z}\right) .

Correction
    Proprieˊteˊs du conjugueˊ\red{\text{Propriétés du conjugué}}
Pour tous nombres complexes zz et z′z' et tout entier naturel nn :
  • z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} et z×z′‾=z‾×z′‾\overline{z\times z'}=\overline{z}\times \overline{z'}
  • si z′≠0z'\ne 0 : (1z′)‾=1z′‾\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}} et (zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
  • zn‾=(z‾)n\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} et z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
  • zz est un réel si et seulement si z‾=z\overline{z}=z ; zz est un imaginaire pur si et seulement si z‾=−z\overline{z}=-z
    • Le conjugué d'un réel est lui-même : 3‾=3\overline{3}=3 , 4‾=4\overline{4}=4 et 2‾=2\overline{2}=2 . Il vient alors :
    P(z)‾=z3‾−3z2‾+4z‾−2‾\overline{P\left(z\right)}=\overline{z^{3}}-\overline{3z^{2}}+\overline{4z}-\overline{2} (conjugué d'une somme)
    P(z)‾=(z‾)3−3(z‾)2+4z‾−2\overline{P\left(z\right)}=\left(\overline{z}\right)^{3}-3\left(\overline{z}\right)^{2}+4\overline{z}-2 (conjugué d'un produit et d'une puissance)
    Ainsi :
    P(z)‾=P(z‾)\overline{P\left(z\right)}=P\left(\overline{z}\right)

    Cette égalité vient de ce que les coefficients de PP sont reˊels\red{\text{réels}} .
    Question 3

    En déduire une autre solution de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 , puis vérifier que 11 est aussi une solution.

    Correction
    D'après la question précédente avec z=1+iz=1+i :
    P(1+i‾)=P(1+i)‾P\left(\overline{1+i}\right)=\overline{P\left(1+i\right)}
    P(1−i)=0‾=0P\left(1-i\right)=\overline{0}=0
    Ainsi :
    1−i1-i est aussi une solution de P(z)=0P\left(z\right)=0

    Enfin : P(1)=13−3×12+4×1−2=1−3+4−2=0P\left(1\right)=1^{3}-3\times 1^{2}+4\times 1-2=1-3+4-2=0 .
    Les nombres 11 , 1+i1+i et 1−i1-i sont donc des solutions de l'équation P(z)=0P\left(z\right)=0 .
    Pour un polynôme à coefficients réels, si un nombre complexe est solution, son conjugué l'est aussi : les solutions non réelles vont par paires de conjugués.

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