Propriétés du conjugué : démonstrations et utilisations - Exercice 3

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Dans cet exercice, on utilise les propriétés du conjugué démontrées dans les exercices précédents.
Question 1

Soit zz un nombre complexe. Démontrer que Z=z2+(z‾)2Z=z^{2}+\left(\overline{z}\right)^{2} est un réel.

Correction
    Proprieˊteˊs du conjugueˊ\red{\text{Propriétés du conjugué}}
Pour tous nombres complexes zz et z′z' et tout entier naturel nn :
  • z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'} et z×z′‾=z‾×z′‾\overline{z\times z'}=\overline{z}\times \overline{z'}
  • si z′≠0z'\ne 0 : (1z′)‾=1z′‾\overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z'}} et (zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
  • zn‾=(z‾)n\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} et z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
  • zz est un réel si et seulement si z‾=z\overline{z}=z ; zz est un imaginaire pur si et seulement si z‾=−z\overline{z}=-z
    • Calculons le conjugué de ZZ :
    Z‾=z2+(z‾)2‾\overline{Z}=\overline{z^{2}+\left(\overline{z}\right)^{2}}
    Z‾=z2‾+(z‾)2‾\overline{Z}=\overline{z^{2}}+\overline{\left(\overline{z}\right)^{2}} (conjugué d'une somme)
    Z‾=(z‾)2+(z‾‾)2\overline{Z}=\left(\overline{z}\right)^{2}+\left(\overline{\overline{z}}\right)^{2} (conjugué d'une puissance)
    Z‾=(z‾)2+z2\overline{Z}=\left(\overline{z}\right)^{2}+z^{2} car z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    Z‾=Z\overline{Z}=Z
    Ainsi :
    Z=z2+(z‾)2Z=z^{2}+\left(\overline{z}\right)^{2} est un réel

    On le retrouve par le calcul : avec z=x+iyz=x+iy , Z=(x+iy)2+(x−iy)2=2x2−2y2Z=\left(x+iy\right)^{2}+\left(x-iy\right)^{2}=2x^{2}-2y^{2} .
    Question 2

    Soit zz un nombre complexe. On pose W=z−z‾1+zz‾W=\dfrac{z-\overline{z}}{1+z\overline{z}} . Justifier que WW existe, puis démontrer que WW est un imaginaire pur.

    Correction
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • Avec z=x+iyz=x+iy : zz‾=x2+y2≥0z\overline{z}=x^{2}+y^{2}\geq 0 , donc 1+zz‾≥11+z\overline{z}\geq 1 : le dénominateur n'est jamais nul et WW existe.
    Calculons le conjugué de WW :
    W‾=z−z‾‾1+zz‾‾\overline{W}=\dfrac{\overline{z-\overline{z}}}{\overline{1+z\overline{z}}} (conjugué d'un quotient)
    W‾=z‾−z1+z‾z\overline{W}=\dfrac{\overline{z}-z}{1+\overline{z}z} (conjugué d'une somme, d'un produit, et z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z )
    W‾=−z−z‾1+zz‾\overline{W}=-\dfrac{z-\overline{z}}{1+z\overline{z}}
    W‾=−W\overline{W}=-W
    Ainsi :
    WW est un imaginaire pur

    On le retrouve par le calcul : W=2iy1+x2+y2W=\dfrac{2iy}{1+x^{2}+y^{2}} a une partie réelle nulle.
    Question 3

    Démontrer que A=(2+i)5+(2−i)5A=\left(2+i\right)^{5}+\left(2-i\right)^{5} est un réel, puis calculer AA .

    Correction
    Comme 2+i‾=2−i\overline{2+i}=2-i et 2−i‾=2+i\overline{2-i}=2+i :
    A‾=(2+i)5‾+(2−i)5‾\overline{A}=\overline{\left(2+i\right)^{5}}+\overline{\left(2-i\right)^{5}}
    A‾=(2−i)5+(2+i)5\overline{A}=\left(2-i\right)^{5}+\left(2+i\right)^{5} (conjugué d'une puissance)
    A‾=A\overline{A}=A donc
    AA est un réel

    Calculons (2+i)5\left(2+i\right)^{5} par étapes :
    (2+i)2=4+4i+i2=3+4i\left(2+i\right)^{2}=4+4i+i^{2}=3+4i
    (2+i)4=(3+4i)2=9+24i+16i2=−7+24i\left(2+i\right)^{4}=\left(3+4i\right)^{2}=9+24i+16i^{2}=-7+24i
    (2+i)5=(−7+24i)(2+i)=−14−7i+48i+24i2=−38+41i\left(2+i\right)^{5}=\left(-7+24i\right)\left(2+i\right)=-14-7i+48i+24i^{2}=-38+41i
    D'après la propriété du conjugué d'une puissance : (2−i)5=(2+i)5‾=−38−41i\left(2-i\right)^{5}=\overline{\left(2+i\right)^{5}}=-38-41i . Il vient alors :
    A=−38+41i+(−38−41i)A=-38+41i+\left(-38-41i\right)
    Ainsi :
    A=−76A=-76

    Question 4

    Soit z=(1+2i)33−iz=\dfrac{\left(1+2i\right)^{3}}{3-i} . À l'aide des propriétés du conjugué, écrire z‾\overline{z} sans barre de conjugaison, puis donner les formes algébriques de zz et de z‾\overline{z} .

    Correction
    z‾=(1+2i)3‾3−i‾\overline{z}=\dfrac{\overline{\left(1+2i\right)^{3}}}{\overline{3-i}} (conjugué d'un quotient) d'où, avec le conjugué d'une puissance :
    z‾=(1−2i)33+i\overline{z}=\dfrac{\left(1-2i\right)^{3}}{3+i}

    Calculons (1+2i)3\left(1+2i\right)^{3} :
    (1+2i)2=1+4i+4i2=−3+4i\left(1+2i\right)^{2}=1+4i+4i^{2}=-3+4i
    (1+2i)3=(−3+4i)(1+2i)=−3−6i+4i+8i2=−11−2i\left(1+2i\right)^{3}=\left(-3+4i\right)\left(1+2i\right)=-3-6i+4i+8i^{2}=-11-2i
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

    • z=−11−2i3−iz=\dfrac{-11-2i}{3-i}
    z=(−11−2i)(3+i)(3−i)(3+i)z=\dfrac{\left(-11-2i\right)\left(3+i\right)}{\left(3-i\right)\left(3+i\right)}
    z=−33−11i−6i−2i232+12z=\dfrac{-33-11i-6i-2i^{2}}{3^{2}+1^{2}}
    z=−31−17i10z=\dfrac{-31-17i}{10}
    Ainsi :
    z=−3110−1710iz=-\dfrac{31}{10}-\dfrac{17}{10}i

    et
    z‾=−3110+1710i\overline{z}=-\dfrac{31}{10}+\dfrac{17}{10}i

    On peut vérifier : (1−2i)33+i=−11+2i3+i=(−11+2i)(3−i)10=−31+17i10\dfrac{\left(1-2i\right)^{3}}{3+i}=\dfrac{-11+2i}{3+i}=\dfrac{\left(-11+2i\right)\left(3-i\right)}{10}=\dfrac{-31+17i}{10} .

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