Propriétés du conjugué : démonstrations et utilisations - Exercice 2

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Soit z=x+iyz=x+iy un nombre complexe, où xx et yy sont deux réels. On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right). On note MM le point d'affixe zz et M′M' le point d'affixe z‾\overline{z} .
Question 1

Démontrer que z+z‾=2xz+\overline{z}=2x et que z−z‾=2iyz-\overline{z}=2iy .

Correction
Soit z=x+iyz=x+iy un complexe sous sa forme algébrique alors sa forme conjuguée z‾\overline{z} sera sous la forme : z‾=x−iy\overline{z}=x-iy
z+z‾=x+iy+x−iyz+\overline{z}=x+iy+x-iy d'où :
z+z‾=2xz+\overline{z}=2x

z−z‾=x+iy−(x−iy)=x+iy−x+iyz-\overline{z}=x+iy-\left(x-iy\right)=x+iy-x+iy d'où :
z−z‾=2iyz-\overline{z}=2iy

Autrement dit : x=z+z‾2x=\dfrac{z+\overline{z}}{2} et y=z−z‾2iy=\dfrac{z-\overline{z}}{2i} .
Les points M(x;y)M\left(x;y\right) et M′(x;−y)M'\left(x;-y\right) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses :
Question 2

En déduire que zz est un réel si et seulement si z‾=z\overline{z}=z .

Correction
zz est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
z‾=z\overline{z}=z équivaut successivement à :
z−z‾=0z-\overline{z}=0
2iy=02iy=0
y=0y=0
Ainsi z‾=z\overline{z}=z si et seulement si la partie imaginaire de zz est nulle, c'est-à-dire :
zz est un réel si et seulement si z‾=z\overline{z}=z

Sur la figure, cela signifie que M′M' est confondu avec MM : le point MM est alors sur l'axe des abscisses.
Question 3

Démontrer de même que zz est un imaginaire pur si et seulement si z‾=−z\overline{z}=-z .

Correction
zz est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement si sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
z‾=−z\overline{z}=-z équivaut successivement à :
z+z‾=0z+\overline{z}=0
2x=02x=0
x=0x=0
Ainsi z‾=−z\overline{z}=-z si et seulement si la partie réelle de zz est nulle, c'est-à-dire :
zz est un imaginaire pur si et seulement si z‾=−z\overline{z}=-z

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