Propriétés du conjugué : démonstrations et utilisations - Exercice 1

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$z+z'=x+iy+x'+iy'$$
$$z+z'=\left(x+x'\right)+i\left(y+y'\right)$$
La partie réelle de $$z+z'$$ est $$x+x'$$ et sa partie imaginaire est $$y+y'$$ , d'où : $$\overline{z+z'}=\left(x+x'\right)-i\left(y+y'\right)$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$\overline{z}+\overline{z'}=x-iy+x'-iy'$$
$$\overline{z}+\overline{z'}=\left(x+x'\right)-i\left(y+y'\right)$$
Les deux expressions sont égales. Ainsi :
Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués.

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$z\times z'=\left(x+iy\right)\left(x'+iy'\right)$$
$$z\times z'=xx'+ixy'+ix'y+i^{2}yy'$$
$$z\times z'=\left(xx'-yy'\right)+i\left(xy'+x'y\right)$$ car $$i^{2}=-1$$
d'où : $$\overline{z\times z'}=\left(xx'-yy'\right)-i\left(xy'+x'y\right)$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$\overline{z}\times \overline{z'}=\left(x-iy\right)\left(x'-iy'\right)$$
$$\overline{z}\times \overline{z'}=xx'-ixy'-ix'y+i^{2}yy'$$
$$\overline{z}\times \overline{z'}=\left(xx'-yy'\right)-i\left(xy'+x'y\right)$$
Les deux expressions sont égales. Ainsi :
Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués.

Comme $$z\ne 0$$ , on a $$\overline{z}\ne 0$$ : en effet, si $$\overline{z}=x-iy$$ était nul, on aurait $$x=0$$ et $$y=0$$ , donc $$z=0$$ .
Par définition de l'inverse : $$z\times \dfrac{1}{z}=1$$ .
Deux nombres complexes égaux ont des conjugués égaux, d'où : $$\overline{z\times \dfrac{1}{z}}=\overline{1}$$
D'après la question précédente (conjugué d'un produit), et comme $$\overline{1}=1$$ :
$$\overline{z}\times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=1$$
En divisant les deux membres par $$\overline{z}\ne 0$$ :
Le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué.

On écrit le quotient comme un produit : $$\dfrac{z}{z'}=z\times \dfrac{1}{z'}$$ . Il vient alors :
$$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\overline{z\times \dfrac{1}{z'}}$$
$$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\overline{z}\times \overline{\left(\dfrac{1}{z'}\right)}$$ (conjugué d'un produit)
$$\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\overline{z}\times \dfrac{1}{\overline{z'}}$$ (conjugué d'un inverse)
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$ , posons la propriété $$P_{n} : \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$$
Étape d'initialisation
Pour $$n=0$$ : $$\overline{z^{0}}=\overline{1}=1$$ et $$\left(\overline{z}\right)^{0}=1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Étape d'hérédité
Soit $$k$$ un entier naturel. On suppose que la propriété $$P_{k}$$ est vraie c'est-à-dire : $$\overline{z^{k}}=\left(\overline{z}\right)^{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$\overline{z^{k+1}}=\left(\overline{z}\right)^{k+1}$$
$$\overline{z^{k+1}}=\overline{z^{k}\times z}$$
$$\overline{z^{k+1}}=\overline{z^{k}}\times \overline{z}$$ (conjugué d'un produit)
$$\overline{z^{k+1}}=\left(\overline{z}\right)^{k}\times \overline{z}$$ (par hypothèse de récurrence)
$$\overline{z^{k+1}}=\left(\overline{z}\right)^{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.

Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $$n$$ :
Le conjugué d'une puissance est la puissance du conjugué.