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Nombres complexes : point de vue algébrique
La forme conjuguée - Exercice 3
10 min
15
Donner la forme algébrique du conjugué
z
‾
\overline{z}
z
des complexes suivants :
Question 1
z
1
=
2
(
1
+
i
)
−
(
5
−
3
i
)
z_{1} =2\left(1+i\right)-\left(5-3i\right)
z
1
=
2
(
1
+
i
)
−
(
5
−
3
i
)
Correction
On va développer l'expression de
z
1
z_{1}
z
1
sous forme algébrique puis on donnera le conjugué du résultat.
z
1
=
2
(
1
+
i
)
−
(
5
−
3
i
)
z_{1} =2\left(1+i\right)-\left(5-3i\right)
z
1
=
2
(
1
+
i
)
−
(
5
−
3
i
)
z
1
=
2
+
2
i
−
5
+
3
i
z_{1} =2+2i-5+3i
z
1
=
2
+
2
i
−
5
+
3
i
On a
z
1
=
−
3
+
5
i
z_{1} =-3+5i
z
1
=
−
3
+
5
i
donc
z
1
‾
=
−
3
−
5
i
\overline{z_{1} }=-3-5i
z
1
=
−
3
−
5
i
Question 2
z
2
=
(
1
+
i
)
(
2
−
3
i
)
z_{2} =\left(1+i\right)\left(2-3i\right)
z
2
=
(
1
+
i
)
(
2
−
3
i
)
Correction
Soient deux nombres complexes
z
1
z_{1}
z
1
et
z
2
z_{2}
z
2
sous forme algébrique. On a :
z
1
×
z
2
‾
=
z
1
‾
×
z
2
‾
\overline{z_{1} \times z_{2} }=\overline{z_{1} }\times \overline{z_{2} }
z
1
×
z
2
=
z
1
×
z
2
On a :
z
2
=
(
1
+
i
)
(
2
−
3
i
)
z_{2} =\left(1+i\right)\left(2-3i\right)
z
2
=
(
1
+
i
)
(
2
−
3
i
)
. Sa forme conjuguée est alors :
z
2
‾
=
(
1
+
i
)
‾
×
(
2
−
3
i
)
‾
\overline{z_{2} }=\overline{\left(1+i\right)}\times \overline{\left(2-3i\right)}
z
2
=
(
1
+
i
)
×
(
2
−
3
i
)
z
2
‾
=
(
1
−
i
)
(
2
+
3
i
)
\overline{z_{2} }=\left(1-i\right)\left(2+3i\right)
z
2
=
(
1
−
i
)
(
2
+
3
i
)
z
2
‾
=
(
1
−
i
)
(
2
+
3
i
)
\overline{z_{2} }=\left(1-i\right)\left(2+3i\right)
z
2
=
(
1
−
i
)
(
2
+
3
i
)
z
2
‾
=
2
+
3
i
−
2
i
−
3
i
2
\overline{z_{2} }=2+3i-2i-3i^{2}
z
2
=
2
+
3
i
−
2
i
−
3
i
2
z
2
‾
=
2
+
3
i
−
2
i
+
3
\overline{z_{2} }=2+3i-2i+3
z
2
=
2
+
3
i
−
2
i
+
3
Finalement :
z
2
‾
=
5
+
i
\overline{z_{2} }=5+i
z
2
=
5
+
i
Question 3
z
3
=
2
i
−
1
+
i
z_{3} =\frac{2i}{-1+i}
z
3
=
−
1
+
i
2
i
Correction
Soient deux nombres complexes
z
1
z_{1}
z
1
et
z
2
z_{2}
z
2
sous forme algébrique et
z
2
≠
0
z_{2} \ne 0
z
2
=
0
. On a :
(
z
1
z
2
)
‾
=
z
1
‾
z
2
‾
\overline{\left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)}=\frac{\overline{z_{1} }}{\overline{z_{2} }}
(
z
2
z
1
)
=
z
2
z
1
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
On a :
z
3
=
2
i
−
1
+
i
z_{3} =\frac{2i}{-1+i}
z
3
=
−
1
+
i
2
i
Sa forme conjuguée est alors :
z
3
‾
=
(
2
i
)
‾
(
−
1
+
i
)
‾
\overline{z_{3} }=\frac{\overline{\left(2i\right)}}{\overline{\left(-1+i\right)}}
z
3
=
(
−
1
+
i
)
(
2
i
)
z
3
‾
=
−
2
i
−
1
−
i
\overline{z_{3}} =\frac{-2i}{-1-i}
z
3
=
−
1
−
i
−
2
i
z
3
‾
=
−
2
i
×
(
−
1
+
i
)
(
−
1
−
i
)
×
(
−
1
+
i
)
\overline{z_{3} }=\frac{-2i\times \left(-1+i\right)}{\left(-1-i\right)\times \left(-1+i\right)}
z
3
=
(
−
1
−
i
)
×
(
−
1
+
i
)
−
2
i
×
(
−
1
+
i
)
z
3
‾
=
2
i
−
2
i
2
1
2
+
1
2
\overline{z_{3} }=\frac{2i-2i^{2} }{1^{2} +1^{2} }
z
3
=
1
2
+
1
2
2
i
−
2
i
2
z
3
‾
=
2
i
+
2
2
\overline{z_{3} }=\frac{2i+2}{2}
z
3
=
2
2
i
+
2
Ainsi :
z
3
‾
=
1
+
i
\overline{z_{3} }=1+i
z
3
=
1
+
i
Question 4
z
4
=
2
−
3
i
2
+
4
i
z_{4} =\frac{2-3i}{2+4i}
z
4
=
2
+
4
i
2
−
3
i
Correction
Soient deux nombres complexes
z
1
z_{1}
z
1
et
z
2
z_{2}
z
2
sous forme algébrique et
z
2
≠
0
z_{2} \ne 0
z
2
=
0
. On a :
(
z
1
z
2
)
‾
=
z
1
‾
z
2
‾
\overline{\left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)}=\frac{\overline{z_{1} }}{\overline{z_{2} }}
(
z
2
z
1
)
=
z
2
z
1
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
On a :
z
4
=
2
−
3
i
2
+
4
i
z_{4} =\frac{2-3i}{2+4i}
z
4
=
2
+
4
i
2
−
3
i
Sa forme conjuguée est alors :
z
4
‾
=
(
2
−
3
i
)
‾
(
2
+
4
i
)
‾
\overline{z_{4} }=\frac{\overline{\left(2-3i\right)}}{\overline{\left(2+4i\right)}}
z
4
=
(
2
+
4
i
)
(
2
−
3
i
)
z
4
‾
=
2
+
3
i
2
−
4
i
\overline{z_{4}} =\frac{2+3i}{2-4i}
z
4
=
2
−
4
i
2
+
3
i
z
4
‾
=
(
2
+
3
i
)
×
(
2
+
4
i
)
(
2
−
4
i
)
×
(
2
+
4
i
)
\overline{z_{4} }=\frac{\left(2+3i\right)\times \left(2+4i\right)}{\left(2-4i\right)\times \left(2+4i\right)}
z
4
=
(
2
−
4
i
)
×
(
2
+
4
i
)
(
2
+
3
i
)
×
(
2
+
4
i
)
z
4
‾
=
4
+
8
i
+
6
i
+
12
i
2
2
2
+
4
2
\overline{z_{4} }=\frac{4+8i+6i+12i^{2} }{2^{2} +4^{2} }
z
4
=
2
2
+
4
2
4
+
8
i
+
6
i
+
12
i
2
z
4
‾
=
−
8
+
14
i
20
\overline{z_{4} }=\frac{-8+14i}{20}
z
4
=
20
−
8
+
14
i
Ainsi :
z
4
‾
=
−
2
5
+
7
10
i
\overline{z_{4} }=-\frac{2}{5} +\frac{7}{10} i
z
4
=
−
5
2
+
10
7
i