Nombres complexes : point de vue algébrique

La forme conjuguée - Exercice 2

8 min
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Question 1
zz désigne un nombre complexe. Dans chaque cas, exprimer le conjugué du nombre complexe ZZ en fonction de zz et z‾\overline{z} .

Z=2z+z‾Z=2z+\overline{z}

Correction
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • Soit Z=2z+z‾Z=2z+\overline{z} , il vient alors que :
    Z‾=(2z+z‾)‾\overline{Z}=\overline{\left(2z+\overline{z}\right)}
    Z‾=2z‾+z‾‾\overline{Z}=\overline{2z}+\overline{\overline{z}}
    Ainsi :
    Z‾=2z‾+z\overline{Z}=2\overline{z}+z

    Question 2

    Z=3z+6Z=3z+6

    Correction
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
    • Soit Z=3z+6Z=3z+6, il vient que :
    Z‾=(3z+6)‾\overline{Z}=\overline{\left(3z+6\right)}
    Z‾=3z‾+6‾\overline{Z}=\overline{3z}+\overline{6}
    Ainsi :
    Z‾=3z‾+6\overline{Z}=3\overline{z}+6

    Question 3

    Z=iz−3iz‾Z=iz-3i\overline{z}

    Correction
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • Soit Z=iz−3iz‾Z=iz-3i\overline{z}, il vient que :
    Z‾=(iz−3iz‾)‾\overline{Z}=\overline{\left(iz-3i\overline{z}\right)}
    Z‾=iz‾−(3iz‾)‾\overline{Z}=\overline{iz}-\overline{\left(3i\overline{z}\right)}
    Z‾=i‾×z‾−(3i‾×z‾‾)\overline{Z}=\overline{i}\times \overline{z}-\left(3\overline{i}\times \overline{\overline{z}} \right)
    Z‾=−iz‾−(−3i×z)\overline{Z}=-i\overline{z}-\left(-3i\times z\right)
    Ainsi :
    Z‾=−iz‾+3iz\overline{Z}=-i\overline{z}+3iz

    Question 4

    Z=2−5i+9zZ=2-5i+9z

    Correction
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
    • Soit Z=2−5i+9zZ=2-5i+9z , il vient que :
    Z‾=(2−5i+9z)‾\overline{Z}=\overline{\left(2-5i+9z\right)}
    Z‾=(2−5i)‾+9z‾\overline{Z}=\overline{\left(2-5i\right)}+\overline{9z}
    Ainsi :
    Z‾=2+5i+9z‾\overline{Z}=2+5i+9\overline{z}

    Question 5

    Z=(z+2)(z‾−2i)Z=\left(z+2\right)\left(\overline{z}-2i\right)

    Correction
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
  • Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique. On a : z1×z2‾=z1‾×z2‾ \overline{z_{1} \times z_{2} }=\overline{z_{1} }\times \overline{z_{2} }
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • Soit Z=(z+2)(z‾−2i)Z=\left(z+2\right)\left(\overline{z}-2i\right) , il vient alors que :
    Z‾=(z+2)(z‾−2i)‾\overline{Z}=\overline{\left(z+2\right)\left(\overline{z}-2i\right)}
    Z‾=(z+2)‾×(z‾−2i)‾\overline{Z}=\overline{\left(z+2\right)}\times \overline{\left(\overline{z}-2i\right)}
    Z‾=(z‾+2)×(z‾‾−2i‾)\overline{Z}=\left(\overline{z}+2\right)\times \left(\overline{\overline{z}} -\overline{2i}\right)
    Z‾=(z‾+2)×(z−(−2i))\overline{Z}=\left(\overline{z}+2\right)\times \left(z-\left(-2i\right)\right)
    Ainsi :
    Z‾=(z‾+2)×(z+2i)\overline{Z}=\left(\overline{z}+2\right)\times \left(z+2i\right)

    Question 6

    Z=2z2+ziz−3Z=\frac{2z^{2} +z}{iz-3}

    Correction
      Soient deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme algébrique On a :
  • z1+z2‾=z1‾+z2‾ \overline{z_{1} + z_{2} }=\overline{z_{1} }+ \overline{z_{2} }
  • z1×z2‾=z1‾×z2‾ \overline{z_{1} \times z_{2} }=\overline{z_{1} }\times \overline{z_{2} }
  • Soit z2z_{2} est non nul, on a : (z1z2)‾=z1‾z2‾\overline{\left(\frac{z_{1} }{z_{2} } \right)}=\frac{\overline{z_{1} }}{\overline{z_{2} }}
  • (z1n)‾=(z1‾)n\overline{\left(z_1^{n} \right)}=\left(\overline{z_1}\right)^{n}
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • Soit Z=2z2+ziz−3Z=\frac{2z^{2} +z}{iz-3} , il vient alors que :
    Z‾=(2z2+z)‾(iz−3)‾\overline{Z}=\frac{\overline{\left(2z^{2} +z\right)}}{\overline{\left(iz-3\right)}}
    Z‾=2z2‾+z‾(iz‾−3‾)‾\overline{Z}=\frac{\overline{2z^{2} }+\overline{z}}{\overline{\left(\overline{iz}-\overline{3}\right)}}
    Z‾=2z2‾+z‾iz‾−3‾\overline{Z}=\frac{\overline{2z^{2} }+\overline{z}}{\overline{iz}-\overline{3}}
    Z‾=2z‾2+z‾i‾×z‾−3\overline{Z}=\frac{2\overline{z}^{2} +\overline{z}}{\overline{i}\times \overline{z}-3}
    Ainsi :
    Z‾=2z‾2+z‾−iz‾−3\overline{Z}=\frac{2\overline{z}^{2} +\overline{z}}{-i\overline{z}-3}