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La forme conjuguée - Exercice 1

4 min
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Formule du produit d'un complexe et de son conjugué.
Question 1

Soit z=x+iyz=x+iy un complexe sous sa forme algébrique. On note z‾\overline{z} sa forme conjuguée. Calculer : z×z‾z\times \overline{z}.

Correction
Soit z=x+iyz=x+iy un complexe sous sa forme algébrique alors sa forme conjugué z‾\overline{z} sera sous la forme : z‾=x−iy\overline{z}=x-iy
z×z‾=(x+iy)×(x−iy)z\times \overline{z}=\left(x+iy\right)\times \left(x-iy\right)
z×z‾=x2−ixy+ixy−i2y2z\times \overline{z}=x^{2} -ixy+ixy-i^{2} y^{2}
z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps x2+y2x^{2} +y^{2}.
Autrement dit : z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}.
Question 2
Donnez le conjugué des nombres complexes suivants :

z1=2+3iz_{1} =2+3i

Correction
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont des réels. On appelle conjugué de zz, le nombre complexe noté z‾\overline{z}, définie par z‾=x−iy\overline{z}=x-iy.
Autrement dit, le conjugué de zz à la même partie réelle que zz et une partie imaginaire opposée.
z1=2+3iz_{1} =2+3i
z1‾=2+3i‾\overline{z_{1} }=\overline{2\red{+}3i}
Ainsi :
z1‾=2−3i\overline{z_{1} }=2\red{-}3i

Question 3

z2=−1−2iz_{2} =-1-2i

Correction
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont des réels. On appelle conjugué de zz, le nombre complexe noté z‾\overline{z}, définie par z‾=x−iy\overline{z}=x-iy.
Autrement dit, le conjugué de zz à la même partie réelle que zz et une partie imaginaire opposée.
z2=−1−2iz_{2} =-1-2i
z2‾=−1−2i‾\overline{z_{2} }=\overline{-1\red{-}2i}
Ainsi :
z2‾=−1+2i\overline{z_{2} }=-1\red{+}2i
Question 4

z3=9z_{3} =9

Correction
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont des réels. On appelle conjugué de zz, le nombre complexe noté z‾\overline{z}, définie par z‾=x−iy\overline{z}=x-iy.
Autrement dit, le conjugué de zz à la même partie réelle que zz et une partie imaginaire opposée.
z3=9z_{3} =9
z3‾=9‾\overline{z_{3} }=\overline{9}
Ainsi :
z3‾=9\overline{z_{3} }=9
Question 5

z4=−5iz_{4} =-5i

Correction
Soit zz un nombre complexe tel que z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont des réels. On appelle conjugué de zz, le nombre complexe noté z‾\overline{z}, définie par z‾=x−iy\overline{z}=x-iy.
Autrement dit, le conjugué de zz à la même partie réelle que zz et une partie imaginaire opposée.
z4=−5iz_{4} =-5i
z4‾=−5i‾\overline{z_{4} }=\overline{\red{-}5i}
z4‾=+5i\overline{z_{4} }=\red{+}5i
Ainsi :
z4‾=5i\overline{z_{4} }=5i

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