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Nombres complexes : point de vue algébrique
La forme conjuguée - Exercice 1
4 min
10
Formule du produit d'un complexe et de son conjugué.
Question 1
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
un complexe sous sa forme algébrique. On note
z
‾
\overline{z}
z
sa forme conjuguée. Calculer :
z
×
z
‾
z\times \overline{z}
z
×
z
.
Correction
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
un complexe sous sa forme algébrique alors sa forme conjugué
z
‾
\overline{z}
z
sera sous la forme :
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
z
×
z
‾
=
(
x
+
i
y
)
×
(
x
−
i
y
)
z\times \overline{z}=\left(x+iy\right)\times \left(x-iy\right)
z
×
z
=
(
x
+
i
y
)
×
(
x
−
i
y
)
z
×
z
‾
=
x
2
−
i
x
y
+
i
x
y
−
i
2
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} -ixy+ixy-i^{2} y^{2}
z
×
z
=
x
2
−
i
x
y
+
i
x
y
−
i
2
y
2
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps
x
2
+
y
2
x^{2} +y^{2}
x
2
+
y
2
.
Autrement dit :
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
.
Question 2
Donnez le conjugué des nombres complexes suivants :
z
1
=
2
+
3
i
z_{1} =2+3i
z
1
=
2
+
3
i
Correction
Soit
z
z
z
un nombre complexe tel que
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
où
x
x
x
et
y
y
y
sont des réels. On appelle conjugué de
z
z
z
, le nombre complexe noté
z
‾
\overline{z}
z
, définie par
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
.
Autrement dit, le conjugué de
z
z
z
à la même partie réelle que
z
z
z
et une partie imaginaire opposée.
z
1
=
2
+
3
i
z_{1} =2+3i
z
1
=
2
+
3
i
z
1
‾
=
2
+
3
i
‾
\overline{z_{1} }=\overline{2\red{+}3i}
z
1
=
2
+
3
i
Ainsi :
z
1
‾
=
2
−
3
i
\overline{z_{1} }=2\red{-}3i
z
1
=
2
−
3
i
Question 3
z
2
=
−
1
−
2
i
z_{2} =-1-2i
z
2
=
−
1
−
2
i
Correction
Soit
z
z
z
un nombre complexe tel que
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
où
x
x
x
et
y
y
y
sont des réels. On appelle conjugué de
z
z
z
, le nombre complexe noté
z
‾
\overline{z}
z
, définie par
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
.
Autrement dit, le conjugué de
z
z
z
à la même partie réelle que
z
z
z
et une partie imaginaire opposée.
z
2
=
−
1
−
2
i
z_{2} =-1-2i
z
2
=
−
1
−
2
i
z
2
‾
=
−
1
−
2
i
‾
\overline{z_{2} }=\overline{-1\red{-}2i}
z
2
=
−
1
−
2
i
Ainsi :
z
2
‾
=
−
1
+
2
i
\overline{z_{2} }=-1\red{+}2i
z
2
=
−
1
+
2
i
Question 4
z
3
=
9
z_{3} =9
z
3
=
9
Correction
Soit
z
z
z
un nombre complexe tel que
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
où
x
x
x
et
y
y
y
sont des réels. On appelle conjugué de
z
z
z
, le nombre complexe noté
z
‾
\overline{z}
z
, définie par
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
.
Autrement dit, le conjugué de
z
z
z
à la même partie réelle que
z
z
z
et une partie imaginaire opposée.
z
3
=
9
z_{3} =9
z
3
=
9
z
3
‾
=
9
‾
\overline{z_{3} }=\overline{9}
z
3
=
9
Ainsi :
z
3
‾
=
9
\overline{z_{3} }=9
z
3
=
9
Question 5
z
4
=
−
5
i
z_{4} =-5i
z
4
=
−
5
i
Correction
Soit
z
z
z
un nombre complexe tel que
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
où
x
x
x
et
y
y
y
sont des réels. On appelle conjugué de
z
z
z
, le nombre complexe noté
z
‾
\overline{z}
z
, définie par
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
.
Autrement dit, le conjugué de
z
z
z
à la même partie réelle que
z
z
z
et une partie imaginaire opposée.
z
4
=
−
5
i
z_{4} =-5i
z
4
=
−
5
i
z
4
‾
=
−
5
i
‾
\overline{z_{4} }=\overline{\red{-}5i}
z
4
=
−
5
i
z
4
‾
=
+
5
i
\overline{z_{4} }=\red{+}5i
z
4
=
+
5
i
Ainsi :
z
4
‾
=
5
i
\overline{z_{4} }=5i
z
4
=
5
i