Exercices types : $$3$$^ème partie Spécial équations ! - Exercice 1

$$z^2+6 \bar{z}-2=0$$
$$(x+i y)^2+6(x-i y)-2=0$$
$$x^2+2 i x y-y^2+6 x-6 i y-2=0$$
$$\left(x^2-y^2+6 x-2\right)+i(2 x y-6 y)=0$$
Un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est nulle et si sa partie imaginaire est également nul, d'où :
$$\left\{\begin{array}{l}x^2+6 x-y^2-2=0 \\ 2 x y-6 y=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x^2+6 x-y^2-2=0 \\ 2 y(x-3)=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-y^2-2=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-y^2-2=0 \\ x-3=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-2=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-y^2-2=0 \\ x=3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-2=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} 3^2+6 \times3-y^2-2=0 \\ x=3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-2=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y^2=25 \\ x=3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+6 x-2=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=5 \text{ ou } y=-5 \\ x=3\end{array}\right.$$
Nous allons résoudre l'équation $$x^2+6 x-2=0$$ . On utilise le discriminant et on obtient :
$$\Delta=44$$ ; $$x_1=-3-\sqrt{11}$$ et $$x_2=-3+\sqrt{11}$$
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{l} x=-3-\sqrt{11} \text{ ou } x=-3+\sqrt{11} \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=5 \text{ ou } y=-5 \\ x=3\end{array}\right.$$
On a donc $$4$$ solutions possibles :
Si $$x=-3-\sqrt{11}$$ et $$y=0$$ alors la première solution est $$z_1=-3-\sqrt{11}+0i=-3-\sqrt{11}$$
Si $$x=-3+\sqrt{11}$$ et $$y=0$$ alors la deuxième solution est $$z_2=-3+\sqrt{11}+0i=-3+\sqrt{11}$$
Si $$x=3$$ et $$y=5$$ alors la troisième solution est $$z_3=3+5i$$
Si $$x=3$$ et $$y=-5$$ alors la quatrième solution est $$z_4=3-5i$$
Ainsi :

Posons alors $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$
$$3\overline{z}=2iz-5i+4$$ équivaut successivement à :
$$3\left(x-iy\right)-2i\left(x+iy\right)=-5i+4$$
$$3x-3iy-2ix+2y=-5i+4$$
$$\left({\color{blue}{3x+2y}}\right)+i\left({\color{red}{-2x-3y}}\right)={\color{red}{-5}}i+{\color{blue}{4}}$$
On obtient le système suivant
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {4} \\ {-2x-3y} & {=} & {-5} \end{array}\right.$$ . Nous obtenons un système deux équations à deux inconnues. Nous donnons directement la réponse :)
Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode de la combinaison. On va multiplier la première ligne par $$2$$ et la deuxième ligne par $$3$$ afin que les coefficients devant les $$x$$ soient opposées. Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {3{\color{blue}\times 2}x+2{\color{blue}\times 2}y} & {=} & {4{\color{blue}\times 2}} \\ {\left(-2\right){\color{blue}\times 3}x-3{\color{blue}\times 3}y} & {=} & {-5{\color{blue}\times 3}} \end{array}\right.$$ .
$$\left\{\begin{array}{ccc} {6x+4y} & {=} & {8} \\ {-6x-9y} & {=} & {-15} \end{array}\right.$$ . Nous allons maintenant additionner les deux lignes. Pour cela nous réécrivons un système, la première ligne sera la première équation du système initial et la deuxième ligne l'addition des deux lignes du système précédent.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {4} \\ {6x+\left(-6x\right)+4y+\left(-9y\right)} & {=} & {8+\left(-15\right)} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {4} \\ {-5y} & {=} & {-7} \end{array}\right.$$ . Maintenant, la deuxième ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {4} \\ {y} & {=} & {\frac{-7}{-5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2y} & {=} & {4} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+2\times \frac{7}{5} } & {=} & {4} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$ Maintenant, nous connaissons la valeur de $$y$$, il suffit de remplacer dans la première ligne le $$y$$ par $$\frac{7}{5}$$. Il vient :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x+\frac{14}{5} } & {=} & {4} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x} & {=} & {4-\frac{14}{5} } \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {3x} & {=} & {\frac{6}{5} } \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{6}{5} \div 3} \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{6}{5} \times \frac{1}{3} } \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2}{5} } \\ {y} & {=} & {\frac{7}{5} } \end{array}\right.$$
La solution est $$z=\frac{2}{5} +\frac{7}{5} i$$ autrement dit

Dans un premier temps, on indique qu'il y a bien une valeur interdite $$z= -1-i$$.
Ainsi pour tout nombre complexe $$z$$ différent de $$-1-i$$, on a :
$$\frac{z+2i}{z-(1+i)}=2$$ équivaut successivement à :
$$z+2i=2(z-1-i)$$
$$z+2i=2z-2-2i$$
$$z-2z=-2-2i-2i$$
$$-z=-2-4i$$
$$z=2+4i$$
Ainsi :