Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

12 min
30
Question 1

Calculer (−i)2\left(-i\right)^{2} et (−i)3\left(-i\right)^{3}

Correction
  • (−i)2=(−i)×(−i)=i2=−1\left(-i\right)^{2} =\left(-i\right)\times \left(-i\right)=i^{2} =-1
  • (−i)3=(−i)2×(−i)=(−1)×(−i)=i\left(-i\right)^{3} =\left(-i\right)^{2} \times \left(-i\right)=\left(-1\right)\times \left(-i\right)=i
    • Question 2

    Soit α\alpha un réel . Pour quelle(s) valeurs de α\alpha le nombre complexe (α−i)3\left(\alpha-i\right)^{3} est un réel ?

    Correction
      Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
    Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
    (α−i)3=∑k=0n(3k)αk(−i)3−k\left(\alpha-i\right)^{3} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {3} \\ {k} \end{array}\right) \alpha^{k} \left(-i\right)^{3-k} équivaut successivement à :
    (α−i)3=(30)α0(−i)3−0+(31)α1(−i)3−1+(32)α2(−i)3−2+(32)α3(−i)3−3\left(\alpha-i\right)^{3} =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\alpha^{0} \left(-i\right)^{3-0} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\alpha^{1} \left(-i\right)^{3-1} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\alpha^{2} \left(-i\right)^{3-2} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\alpha^{3} \left(-i\right)^{3-3}
    (α−i)3=(30)α0(−i)3+(31)α1(−i)2+(32)α2(−i)1+(33)α3(−i)0\left(\alpha-i\right)^{3} =\red{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}\alpha^{0} \left(-i\right)^{3} +\blue{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}\alpha^{1} \left(-i\right)^{2} +\pink{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}\alpha^{2} \left(-i\right)^{1} +\purple{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)}\alpha^{3} \left(-i\right)^{0}
    (α−i)3=1×α0×(−i)3+3×α1×(−i)2+3×α2×(−i)1+1×α3×(−i)0\left(\alpha-i\right)^{3} =\red{1}\times \alpha^{0} \times \left(-i\right)^{3} +\blue{3}\times \alpha^{1} \times \left(-i\right)^{2} +\pink{3}\times \alpha^{2} \times \left(-i\right)^{1} +\purple{1}\times \alpha^{3} \times \left(-i\right)^{0}
    (α−i)3=1×1×i+3×α×(−1)+3×α2×(−i)+1×α3×1\left(\alpha-i\right)^{3} =1\times 1\times i +3\times \alpha\times \left(-1\right) +3\times \alpha^{2} \times \left(-i\right) +1\times \alpha^{3} \times 1
    (α−i)3=i−3α−3iα2+α3\left(\alpha -i\right)^{3} =i-3\alpha -3i\alpha ^{2} +\alpha ^{3}
    Ainsi :
    (α−i)3=α3−3α+i(1−3α2)\left(\alpha -i\right)^{3} =\alpha ^{3} -3\alpha +i\left(1-3\alpha ^{2} \right)
    (α−i)3\left(\alpha -i\right)^{3} est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
    Il en résulte donc qu'il nous faut résoudre l'équation 1−3α2=01-3\alpha ^{2}=0 .
    Il vient alors :
    −3α2=−1-3\alpha ^{2} =-1 équivaut successivement à :
    α2=−1−3\alpha ^{2} =\frac{-1}{-3}
    α2=13\alpha ^{2} =\frac{1}{3}
    Soit aa un réel positif ou nul
    • Les solutions de l'équation x2=ax^{2}=a sont x=ax=\sqrt{a} ou x=−ax=-\sqrt{a}
    Ainsi :
    α=13\alpha =\sqrt{\frac{1}{3}} ou α=−13\alpha =-\sqrt{\frac{1}{3}}
    Le nombre complexe (α−i)3\left(\alpha-i\right)^{3} est un réel si et seulement si α=13\alpha =\sqrt{\frac{1}{3}} ou α=−13\alpha =-\sqrt{\frac{1}{3}} .