Soit α un réel . Pour quelle(s) valeurs de α le nombre complexe (α−i)3 est un réel ?
Correction
Formule du binoˆme de Newton
Soient a et b deux nombres complexes. Pour tout entier naturel n, on a : (a+b)n=k=0∑n(nk)akbn−k
(α−i)3=k=0∑n(3k)αk(−i)3−k équivaut successivement à : (α−i)3=(30)α0(−i)3−0+(31)α1(−i)3−1+(32)α2(−i)3−2+(32)α3(−i)3−3 (α−i)3=(30)α0(−i)3+(31)α1(−i)2+(32)α2(−i)1+(33)α3(−i)0 (α−i)3=1×α0×(−i)3+3×α1×(−i)2+3×α2×(−i)1+1×α3×(−i)0 (α−i)3=1×1×i+3×α×(−1)+3×α2×(−i)+1×α3×1 (α−i)3=i−3α−3iα2+α3 Ainsi :
(α−i)3=α3−3α+i(1−3α2)
(α−i)3 est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Il en résulte donc qu'il nous faut résoudre l'équation 1−3α2=0 . Il vient alors : −3α2=−1 équivaut successivement à : α2=−3−1 α2=31
Soit a un réel positif ou nul
Les solutions de l'équation x2=a sont x=a ou x=−a
Ainsi : α=31 ou α=−31 Le nombre complexe (α−i)3 est un réel si et seulement si α=31 ou α=−31 .
Exercice 3
1
Soit n un entier naturel . Adam affirme que A=(3−2i)n+(3+2i)n vaut zéro. A-t-il raison?
Correction
Formule du binoˆme de Newton
Soient a et b deux nombres complexes. Pour tout entier naturel n, on a : (a+b)n=k=0∑n(nk)akbn−k
A=(3−2i)n+(3+2i)n A=k=0∑n(nk)3k(−2i)n−k+k=0∑n(kk)3k(2i)n−k A=k=0∑n(nk)3k(−1)n−k×(2i)n−k+k=0∑n(nk)3k(2i)n−k . Nous allons factoriser l'expression par k=0∑n(nk)3k A=k=0∑n(nk)3k((−1)n−k×(2i)n−k+(2i)n−k) . On rappelle que (−1)n−k=−1 A=k=0∑n(nk)3k((−1)×(2i)n−k+(2i)n−k) A=k=0∑n(nk)3k(−(2i)n−k+(2i)n−k) A=k=0∑n(nk)3k×0 Ainsi :
A=0
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