Exercices types : $2$^ème partie

$f\left(2-i\right)=\left(1+i\right)\times \left(2-i\right)+2i\times \left(2-i\right)-5$ équivaut successivement à :
$f\left(2-i\right)=2-i+2i-i^{2} +4i-2i^{2} -5$
$f\left(2-i\right)=2-i+2i-\left(-1\right)+4i-2\times \left(-1\right)-5$
$f\left(2-i\right)=2-i+2i+1+4i+2-5$
Ainsi :
$f\left(2-i\right)$ est donc bien un imaginaire pur.

$\left(1+i\right)z+2iz-5=0$
$z+iz+2iz-5=0$
$z+3iz-5=0$
${\color{blue}{z}}+3i{\color{blue}{z}}=5$
${\color{blue}{z}}\left(1+3i\right)=5$
$z=\frac{5}{1+3i}$
$z=\frac{5\left(1-3i\right)}{\left(1+3i\right)\left(1-3i\right)}$
$z=\frac{5-15i}{1^{2} +3^{2} }$
$z=\frac{5-15i}{10}$
$z=\frac{5}{10} -\frac{15i}{10}$
Ainsi :

$\left(-i\right)^{2} =\left(-i\right)\times \left(-i\right)=i^{2} =-1$

$\left(-i\right)^{3} =\left(-i\right)^{2} \times \left(-i\right)=\left(-1\right)\times \left(-i\right)=i$

$\left(\alpha-i\right)^{3} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {3} \\ {k} \end{array}\right) \alpha^{k} \left(-i\right)^{3-k}$ équivaut successivement à :
$\left(\alpha-i\right)^{3} =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\alpha^{0} \left(-i\right)^{3-0} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\alpha^{1} \left(-i\right)^{3-1} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\alpha^{2} \left(-i\right)^{3-2} +\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\alpha^{3} \left(-i\right)^{3-3}$
$\left(\alpha-i\right)^{3} =\red{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}\alpha^{0} \left(-i\right)^{3} +\blue{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}\alpha^{1} \left(-i\right)^{2} +\pink{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}\alpha^{2} \left(-i\right)^{1} +\purple{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)}\alpha^{3} \left(-i\right)^{0}$
$\left(\alpha-i\right)^{3} =\red{1}\times \alpha^{0} \times \left(-i\right)^{3} +\blue{3}\times \alpha^{1} \times \left(-i\right)^{2} +\pink{3}\times \alpha^{2} \times \left(-i\right)^{1} +\purple{1}\times \alpha^{3} \times \left(-i\right)^{0}$
$\left(\alpha-i\right)^{3} =1\times 1\times i +3\times \alpha\times \left(-1\right) +3\times \alpha^{2} \times \left(-i\right) +1\times \alpha^{3} \times 1$
$\left(\alpha -i\right)^{3} =i-3\alpha -3i\alpha ^{2} +\alpha ^{3}$
Ainsi : Il en résulte donc qu'il nous faut résoudre l'équation $1-3\alpha ^{2}=0$ .
Il vient alors :
$-3\alpha ^{2} =-1$ équivaut successivement à :
$\alpha ^{2} =\frac{-1}{-3}$
$\alpha ^{2} =\frac{1}{3}$
Ainsi :
$\alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}$ ou $\alpha =-\sqrt{\frac{1}{3}}$
Le nombre complexe $\left(\alpha-i\right)^{3}$ est un réel si et seulement si $\alpha =\sqrt{\frac{1}{3}}$ ou $\alpha =-\sqrt{\frac{1}{3}}$ .

$A=\left(3-2i\right)^{n} +\left(3+2i\right)^{n}$
$A=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k} \left(-2i\right)^{n-k} +\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {k} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k} \left(2i\right)^{n-k}$
$A=\red{\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k}} \blue{\left(-1\right)^{n-k} \times \left(2i\right)^{n-k}} +\red{\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k}}\blue{ \left(2i\right)^{n-k}}$ . Nous allons factoriser l'expression par $\red{\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k}}$
$A=\red{\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k}} \left(\blue{\left(-1\right)^{n-k} \times \left(2i\right)^{n-k} +\left(2i\right)^{n-k}} \right)$ . On rappelle que $\left(-1\right)^{n-k} =-1$
$A=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k} \left(\left(-1\right)\times \left(2i\right)^{n-k} +\left(2i\right)^{n-k} \right)$
$A=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k} \left(-\left(2i\right)^{n-k} +\left(2i\right)^{n-k} \right)$
$A=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 3^{k} \times 0$
Ainsi :