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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

5 min
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Soit ff la fonction définie sur C\mathbb{C} par : f(z)=(1+i)z+2iz−5f\left(z\right)=\left(1+i\right)z+2iz-5 .
Question 1

Vérifier que f(2−i)f\left(2-i\right) est un imaginaire pur.

Correction
f(2−i)=(1+i)×(2−i)+2i×(2−i)−5f\left(2-i\right)=\left(1+i\right)\times \left(2-i\right)+2i\times \left(2-i\right)-5 équivaut successivement à :
f(2−i)=2−i+2i−i2+4i−2i2−5f\left(2-i\right)=2-i+2i-i^{2} +4i-2i^{2} -5
f(2−i)=2−i+2i−(−1)+4i−2×(−1)−5f\left(2-i\right)=2-i+2i-\left(-1\right)+4i-2\times \left(-1\right)-5
f(2−i)=2−i+2i+1+4i+2−5f\left(2-i\right)=2-i+2i+1+4i+2-5
Ainsi :
f(2−i)=5if\left(2-i\right)=5i

f(2−i)f\left(2-i\right) est donc bien un imaginaire pur.
Question 2

Résoudre f(z)=0f\left(z\right)=0

Correction
(1+i)z+2iz−5=0\left(1+i\right)z+2iz-5=0
z+iz+2iz−5=0z+iz+2iz-5=0
z+3iz−5=0z+3iz-5=0
z+3iz=5{\color{blue}{z}}+3i{\color{blue}{z}}=5
z(1+3i)=5{\color{blue}{z}}\left(1+3i\right)=5
z=51+3iz=\frac{5}{1+3i}
z=5(1−3i)(1+3i)(1−3i)z=\frac{5\left(1-3i\right)}{\left(1+3i\right)\left(1-3i\right)}
z=5−15i12+32z=\frac{5-15i}{1^{2} +3^{2} }
z=5−15i10z=\frac{5-15i}{10}
z=510−15i10z=\frac{5}{10} -\frac{15i}{10}
Ainsi :
z=12−32iz=\frac{1}{2} -\frac{3}{2} i

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