Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types 11ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 4

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Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.

Soit zz un nombre complexe différent de −3+2i-3+2i, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont deux réels.
Calculez le nombre complexe Z=z−1+iz+3−2iZ=\frac{z-1+i}{z+3-2i} sous forme algébrique.

Correction
Z=z−1+iz+3−2iZ=\frac{z-1+i}{z+3-2i} équivaut successivement à :
Z=x+iy−1+ix+iy+3−2iZ=\frac{x+iy-1+i}{x+iy+3-2i}
Z=x+iy−1+ix+3+i(y−2)Z=\frac{x+iy-1+i}{x+3+i\left(y-2\right)}
Z=(x+iy−1+i)(x+3−i(y−2))(x+3+i(y−2))(x+3−i(y−2))Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}{\left(x+3+i\left(y-2\right)\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}
Z=(x+iy−1+i)(x+3−iy+2i)(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-iy+2i\right)}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Z=x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy−i2y2+2i2y−x−3+iy−2i+ix+3i−i2y+2i2(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy-i^{2} y^{2} +2i^{2} y-x-3+iy-2i+ix+3i-i^{2} y+2i^{2} }{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Z=x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy+y2−2y−x−3+iy−2i+ix+3i+y−2(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Z=x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy+y2−2y−x−3+iy−2i+ix+3i+y−2(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Z=x2+y2+2x+3ix+4iy−y+i−5(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x+3ix+4iy-y+i-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Z=x2+y2+2x−y−5(x+3)2+(y−2)2+i×3x+4y+1(x+3)2+(y−2)2Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } +i\times \frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
On a donc la partie réelle de ZZ qui vaut Re(Z)=x2+y2+2x−y−5(x+3)2+(y−2)2\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
et la partie imaginaire de ZZ qui vaut Im(Z)=3x+4y+1(x+3)2+(y−2)2\text{Im}\left(Z\right)=\frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }
Question 2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
3x+4y+1(x+3)2+(y−2)2=0\frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0
3x+4y+1=0 et z≠−3+2i3x+4y+1=0{\text{ et }}z\ne -3+2i (on indique z≠−3+2iz\ne -3+2i car c'est la valeur interdite de ZZ)
4y=−3x−1 et z≠−3+2i4y=-3x-1{\text{ et }}z\ne -3+2i
y=−3x−14 et z≠−3+2iy=\frac{-3x-1}{4} {\text{ et }}z\ne -3+2i
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la droite d'équation y=−3x−14y=\frac{-3x-1}{4} privé du point d'affixe −3+2i-3+2i.
Question 3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
x2+y2+2x−y−5(x+3)2+(y−2)2=0\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0
x2+y2+2x−y−5=0 et z≠−3+2ix^{2} +y^{2} +2x-y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i (on indique z≠−3+2iz\ne -3+2i car c'est la valeur interdite de ZZ)
x2+2x+y2−y−5=0 et z≠−3+2ix^{2} +2x+y^{2} -y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i
(x+1)2−12+(y−12)2−(12)2−5=0 et z≠−3+2i\left(x+1\right)^{2} -1^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i
(x+1)2−1+(y−12)2−14−5=0 et z≠−3+2i\left(x+1\right)^{2} -1+\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{4} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i
(x+1)2+(y−12)2=5+1+14 et z≠−3+2i\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =5+1+\frac{1}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i
(x+1)2+(y−12)2=254 et z≠−3+2i\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\frac{25}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i
(x+1)2+(y−12)2=(52)2 et z≠−3+2i\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\left(\frac{5}{2} \right)^{2}{\text{ et }}z\ne -3+2i
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(−1;12)\Omega \left(-1;\frac{1}{2} \right) et de rayon 52\frac{5}{2} privé du point d'affixe −3+2i-3+2i.