Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types 11ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 3

20 min
40
Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.

Soit zz un nombre complexe différent de 1+i1+i, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
Calculez le nombre complexe Z=z2iz1iZ=\frac{z-2i}{z-1-i} sous forme algébrique.

Correction
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps x2+y2x^{2} +y^{2}.
Autrement dit : z×z=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}.
Z=x+iy2ix+iy1iZ=\frac{x+iy-2i}{x+iy-1-i} équivaut successivement à :
Z=x+iy2ix1+i(y1)Z=\frac{x+iy-2i}{x-1+i\left(y-1\right)}
Z=(x+iy2i)[x1i(y1)][x1+i(y1)][x1i(y1)]Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}
Z=(x+iy2i)[x1iy+i][x1+i(y1)][x1i(y1)]Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-iy+i\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}
Z=x2xiyx+ix+iyxiyi2y2+i2y2ix+2i+2i2y2i2(x1)2+(y1)2Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy-i^{2} y^{2} +i^{2} y-2ix+2i+2i^{2} y-2i^{2} }{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
Z=x2xiyx+ix+iyxiy+y2y2ix+2i2y+2(x1)2+(y1)2Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy+y^{2} -y-2ix+2i-2y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
Z=x2xixiy+y23y+2i+2(x1)2+(y1)2Z=\frac{x^{2} -x-ix-iy+y^{2} -3y+2i+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
Z=x2+y2x3y+2(x1)2+(y1)2+ixy+2(x1)2+(y1)2Z=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }+i\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
La partie réelle de ZZ, notée Re(Z)\text{Re}\left(Z\right), est : Re(Z)=x2+y2x3y+2(x1)2+(y1)2\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
La partie imaginaire de ZZ, notée Im(Z)\text{Im}\left(Z\right), est : Im(Z)=xy+2(x1)2+(y1)2\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }
Question 2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
xy+2(x1)2+(y1)2=0\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0
xy+2=0 et z1+i-x-y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i (on indique z1+iz\ne 1+i car c'est la valeur interdite de ZZ)
y=x+2 et z1+iy=-x+2{\text{ et }}z\ne 1+i
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la droite d'équation y=x+2y=-x+2 privé du point d'affixe 1+i1+i.
Question 3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
x2+y2x3y+2(x1)2+(y1)2=0\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0
x2+y2x3y+2=0 et z1+ix^{2} +y^{2} -x-3y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i (on indique z1+iz\ne 1+i car c'est la valeur interdite de ZZ)
(x12)2(12)2+(y32)2(32)2+2=0 et z1+i\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +2=0{\text{ et }}z\ne 1+i
(x12)2+(y32)2=12 et z1+i\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\frac{1}{2} {\text{ et }}z\ne 1+i
(x12)2+(y32)2=12 et z1+i\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\sqrt{\frac{1}{2} } {\text{ et }}z\ne 1+i
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(12;32)\Omega \left(\frac{1}{2} ;\frac{3}{2} \right) et de rayon 12\sqrt{\frac{1}{2} } privé du point d'affixe 1+i1+i.