Exercices types 1ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 3
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Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z.
Soit z un nombre complexe différent de 1+i, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. Calculez le nombre complexe Z=z−1−iz−2i sous forme algébrique.
Correction
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps x2+y2. Autrement dit : z×z=x2+y2.
Z=x+iy−1−ix+iy−2i équivaut successivement à : Z=x−1+i(y−1)x+iy−2i Z=[x−1+i(y−1)][x−1−i(y−1)](x+iy−2i)[x−1−i(y−1)] Z=[x−1+i(y−1)][x−1−i(y−1)](x+iy−2i)[x−1−iy+i] Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−iyx+ix+iyx−iy−i2y2+i2y−2ix+2i+2i2y−2i2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−iyx+ix+iyx−iy+y2−y−2ix+2i−2y+2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−ix−iy+y2−3y+2i+2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2+i(x−1)2+(y−1)2−x−y+2 La partie réelle de Z, notée Re(Z), est : Re(Z)=(x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2 La partie imaginaire de Z, notée Im(Z), est : Im(Z)=(x−1)2+(y−1)2−x−y+2
Question 2
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+(y−1)2−x−y+2=0 −x−y+2=0 et z=1+i (on indique z=1+i car c'est la valeur interdite de Z) y=−x+2 et z=1+i L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la droite d'équation y=−x+2 privé du point d'affixe 1+i.
Question 3
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2=0 x2+y2−x−3y+2=0 et z=1+i (on indique z=1+i car c'est la valeur interdite de Z) (x−21)2−(21)2+(y−23)2−(23)2+2=0 et z=1+i (x−21)2+(y−23)2=21 et z=1+i (x−21)2+(y−23)2=21 et z=1+i L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(21;23) et de rayon 21 privé du point d'affixe 1+i.