Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types 11ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 2

20 min
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Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe différent de 11, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont deux réels.
On note Z=z−1z+1Z=\frac{z-1}{z+1}.

Vérifier que la forme algébrique de ZZ est : Z=x2+y2−1(x+1)2+y2+2y(x+1)2+y2iZ=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i

Correction
Z=z−1z+1Z=\frac{z-1}{z+1} équivaut successivement à :
Z=x+iy−1x+iy+1Z=\frac{x+iy-1}{x+iy+1}
Z=(x+iy−1)((x+1)−iy)((x+1)+iy)((x+1)−iy)Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}{\left(\left(x+1\right)+iy\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}
Z=(x+iy−1)(x+1−iy)(x+1)2+y2Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(x+1-iy\right)}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+x−ixy+iyx+iy−i2y2−x−1+iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy-i^{2} y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+x−ixy+iyx+iy+y2−x−1+iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy+y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+y2−1+2iy(x+1)2+y2Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1+2iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2+y2−1(x+1)2+y2+2y(x+1)2+y2iZ=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i
La partie réelle de ZZ, notée Re(Z)\text{Re}\left(Z\right), est : Re(Z)=x2+y2−1(x+1)2+y2\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
La partie imaginaire de ZZ, notée Im(Z)\text{Im}\left(Z\right), est : Im(Z)=2y(x+1)2+y2\text{Im}\left(Z\right)=\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }
Question 2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
2y(x+1)2+y2=0\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0
2y=0 et z≠12y=0{\text{ et }}z\ne 1 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
y=0 et z≠1y=0{\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la droite d'équation y=0y=0 privé du point d'affixe 11.
Question 3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
x2+y2−1(x+1)2+y2=0\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
x2+y2−1=0x^{2} +y^{2} -1=0  et z≠1{\text{ et }}z\ne 1
(x−0)2+(y−0)2−1=0 et z≠1\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} -1=0 {\text{ et }}z\ne 1
(x−0)2+(y−0)2=1 et z≠1\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} =1 {\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(0;0)\Omega \left(0;0 \right) et de rayon 11 privé du point d'affixe 11.