Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types 11ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe

Exercice 1

On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe différent de 11, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
On note Z=z+2iz1Z=\frac{z+2i}{z-1} .
1

Vérifier que la forme algébrique de ZZ est : Z=x2x+y2+2y(x1)2+y2+iy+2x2(x1)2+y2Z=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } +i\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }

Correction
2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction

Exercice 2

On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe différent de 11, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
On note Z=z1z+1Z=\frac{z-1}{z+1}.
1

Vérifier que la forme algébrique de ZZ est : Z=x2+y21(x+1)2+y2+2y(x+1)2+y2iZ=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i

Correction
2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction

Exercice 3

On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
1

Soit zz un nombre complexe différent de 1+i1+i, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
Calculez le nombre complexe Z=z2iz1iZ=\frac{z-2i}{z-1-i} sous forme algébrique.

Correction
2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction

Exercice 4

On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
1

Soit zz un nombre complexe différent de 3+2i-3+2i, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
Calculez le nombre complexe Z=z1+iz+32iZ=\frac{z-1+i}{z+3-2i} sous forme algébrique.

Correction
2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
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