Nombres complexes : point de vue algébrique

Exercices types 11ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 1

20 min
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Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe différent de 11, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iy où xx et yy sont deux réels.
On note Z=z+2iz−1Z=\frac{z+2i}{z-1} .

Vérifier que la forme algébrique de ZZ est : Z=x2−x+y2+2y(x−1)2+y2+i−y+2x−2(x−1)2+y2Z=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } +i\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }

Correction
Soit zz un nombre complexe différent de 11, on pose z=x+iyz=x+iy.
Il vient alors que :
Z=x+iy+2ix+iy−1Z=\frac{x+iy+2i}{x+iy-1} équivaut successivement à
Z=x+iy+2ix−1+iyZ=\frac{x+iy+2i}{x-1+iy} on multiplie maintenant par le conjugué du dénominateur
Z=(x+iy+2i)[(x−1)−i(y)][(x−1)+i(y)][(x−1)−i(y)]Z=\frac{\left(x+iy+2i\right)\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}{\left[\left(x-1\right)+i\left(y\right)\right]\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}
Z=x2−x−iyx+iyx−iy+y2+2ix−2i+2y(x−1)2+y2Z=\frac{x^{2} -x-iyx+iyx-iy+y^{2} +2ix-2i+2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }
Z=x2−x+y2+2y(x−1)2+y2+i−y+2x−2(x−1)2+y2Z=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } +i\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }
On a donc la partie réelle de ZZ qui vaut Re(Z)=x2−x+y2+2y(x−1)2+y2\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }
et la partie imaginaire de ZZ qui vaut Im(Z)=−y+2x−2(x−1)2+y2\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }
Question 2

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
−y+2x−2(x−1)2+y2=0\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2}} =0
−y+2x−2=0 et z≠1-y+2x-2=0{\text{ et }}z\ne 1 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
y=2x−2 et z≠1y=2x-2{\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est la droite d'équation y=2x−2y=2x-2 privé du point d'affixe 11.
Question 3

Déterminer et représenter dans le repère (0;u→;v→)\left(0;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
x2−x+y2+2y(x−1)2+y2=0\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } =0
x2−x+y2+2y=0 et z≠1x^{2} -x+y^{2} +2y=0{\text{ et }}z\ne 1 (on indique z≠1z\ne 1 car c'est la valeur interdite de ZZ)
(x−12)2−(12)2+(y+1)2−(1)2=0 et z≠1\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0{\text{ et }}z\ne 1
(x−12)2+(y+1)2=54 et z≠1\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\frac{5}{4} {\text{ et }}z\ne 1
(x−12)2+(y+1)2=(52)2 et z≠1\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{{\text 2}} {\text{ et }}z\ne 1
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(12;−1)\Omega \left(\frac{1}{2} ;-1\right) et de rayon 52\frac{\sqrt{5} }{2} privé du point d'affixe 11.