Exercices types 1ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe
Exercice 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe différent de 1, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. On note Z=z−1z+2i .
1
Vérifier que la forme algébrique de Z est : Z=(x−1)2+y2x2−x+y2+2y+i(x−1)2+y2−y+2x−2
Correction
Soit z un nombre complexe différent de 1, on pose z=x+iy. Il vient alors que : Z=x+iy−1x+iy+2i équivaut successivement à Z=x−1+iyx+iy+2i on multiplie maintenant par le conjugué du dénominateur Z=[(x−1)+i(y)][(x−1)−i(y)](x+iy+2i)[(x−1)−i(y)] Z=(x−1)2+y2x2−x−iyx+iyx−iy+y2+2ix−2i+2y Z=(x−1)2+y2x2−x+y2+2y+i(x−1)2+y2−y+2x−2 On a donc la partie réelle de Z qui vaut Re(Z)=(x−1)2+y2x2−x+y2+2y et la partie imaginaire de Z qui vaut Im(Z)=(x−1)2+y2−y+2x−2
2
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+y2−y+2x−2=0 −y+2x−2=0 et z=1 (on indique z=1 car c'est la valeur interdite de Z) y=2x−2 et z=1 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la droite d'équation y=2x−2 privé du point d'affixe 1.
3
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+y2x2−x+y2+2y=0 x2−x+y2+2y=0 et z=1 (on indique z=1 car c'est la valeur interdite de Z) (x−21)2−(21)2+(y+1)2−(1)2=0 et z=1 (x−21)2+(y+1)2=45 et z=1 (x−21)2+(y+1)2=(25)2 et z=1 L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(21;−1) et de rayon 25 privé du point d'affixe 1.
Exercice 2
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe différent de 1, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. On note Z=z+1z−1.
1
Vérifier que la forme algébrique de Z est : Z=(x+1)2+y2x2+y2−1+(x+1)2+y22yi
Correction
Z=z+1z−1 équivaut successivement à : Z=x+iy+1x+iy−1 Z=((x+1)+iy)((x+1)−iy)(x+iy−1)((x+1)−iy) Z=(x+1)2+y2(x+iy−1)(x+1−iy) Z=(x+1)2+y2x2+x−ixy+iyx+iy−i2y2−x−1+iy Z=(x+1)2+y2x2+x−ixy+iyx+iy+y2−x−1+iy Z=(x+1)2+y2x2+y2−1+2iy Z=(x+1)2+y2x2+y2−1+(x+1)2+y22yi La partie réelle de Z, notée Re(Z), est : Re(Z)=(x+1)2+y2x2+y2−1 La partie imaginaire de Z, notée Im(Z), est : Im(Z)=(x+1)2+y22y
2
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à : (x+1)2+y22y=0 2y=0 et z=1 (on indique z=1 car c'est la valeur interdite de Z) y=0 et z=1 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la droite d'équation y=0 privé du point d'affixe 1.
3
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x+1)2+y2x2+y2−1=0 (on indique z=1 car c'est la valeur interdite de Z) x2+y2−1=0 et z=1 (x−0)2+(y−0)2−1=0 et z=1 (x−0)2+(y−0)2=1 et z=1 L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(0;0) et de rayon 1 privé du point d'affixe 1.
Exercice 3
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z.
1
Soit z un nombre complexe différent de 1+i, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. Calculez le nombre complexe Z=z−1−iz−2i sous forme algébrique.
Correction
Il faut retenir que si l'on multiplie un complexe par son conjugué on obtiendra tout le temps x2+y2. Autrement dit : z×z=x2+y2.
Z=x+iy−1−ix+iy−2i équivaut successivement à : Z=x−1+i(y−1)x+iy−2i Z=[x−1+i(y−1)][x−1−i(y−1)](x+iy−2i)[x−1−i(y−1)] Z=[x−1+i(y−1)][x−1−i(y−1)](x+iy−2i)[x−1−iy+i] Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−iyx+ix+iyx−iy−i2y2+i2y−2ix+2i+2i2y−2i2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−iyx+ix+iyx−iy+y2−y−2ix+2i−2y+2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2−x−ix−iy+y2−3y+2i+2 Z=(x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2+i(x−1)2+(y−1)2−x−y+2 La partie réelle de Z, notée Re(Z), est : Re(Z)=(x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2 La partie imaginaire de Z, notée Im(Z), est : Im(Z)=(x−1)2+(y−1)2−x−y+2
2
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+(y−1)2−x−y+2=0 −x−y+2=0 et z=1+i (on indique z=1+i car c'est la valeur interdite de Z) y=−x+2 et z=1+i L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la droite d'équation y=−x+2 privé du point d'affixe 1+i.
3
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x−1)2+(y−1)2x2+y2−x−3y+2=0 x2+y2−x−3y+2=0 et z=1+i (on indique z=1+i car c'est la valeur interdite de Z) (x−21)2−(21)2+(y−23)2−(23)2+2=0 et z=1+i (x−21)2+(y−23)2=21 et z=1+i (x−21)2+(y−23)2=21 et z=1+i L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(21;23) et de rayon 21 privé du point d'affixe 1+i.
Exercice 4
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z.
1
Soit z un nombre complexe différent de −3+2i, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. Calculez le nombre complexe Z=z+3−2iz−1+i sous forme algébrique.
Correction
Z=z+3−2iz−1+i équivaut successivement à : Z=x+iy+3−2ix+iy−1+i Z=x+3+i(y−2)x+iy−1+i Z=(x+3+i(y−2))(x+3−i(y−2))(x+iy−1+i)(x+3−i(y−2)) Z=(x+3)2+(y−2)2(x+iy−1+i)(x+3−iy+2i) Z=(x+3)2+(y−2)2x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy−i2y2+2i2y−x−3+iy−2i+ix+3i−i2y+2i2 Z=(x+3)2+(y−2)2x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy+y2−2y−x−3+iy−2i+ix+3i+y−2 Z=(x+3)2+(y−2)2x2+3x−iyx+2ix+iyx+3iy+y2−2y−x−3+iy−2i+ix+3i+y−2 Z=(x+3)2+(y−2)2x2+y2+2x+3ix+4iy−y+i−5 Z=(x+3)2+(y−2)2x2+y2+2x−y−5+i×(x+3)2+(y−2)23x+4y+1 On a donc la partie réelle de Z qui vaut Re(Z)=(x+3)2+(y−2)2x2+y2+2x−y−5 et la partie imaginaire de Z qui vaut Im(Z)=(x+3)2+(y−2)23x+4y+1
2
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à : (x+3)2+(y−2)2−2yx+3x+4y+1=0 −2yx+3x+4y+1=0 et z=−3+2i (on indique z=−3+2i car c'est la valeur interdite de Z) −2yx+4y=−3x−1 et z=−3+2i y(−2x+4)=−3x−1 et z=−3+2i y=−2x+4−3x−1 et z=−3+2i et x=2 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la courbe d'équation y=−2x+4−3x−1 privé du point d'affixe 1+i et de la droite verticale x=2.
3
Déterminer et représenter dans le repère (0;u;v) l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x+3)2+(y−2)2x2+y2+2x−y−5=0 x2+y2+2x−y−5=0 et z=−3+2i (on indique z=−3+2i car c'est la valeur interdite de Z) x2+2x+y2−y−5=0 et z=−3+2i (x+1)2−12+(y−21)2−(21)2−5=0 et z=−3+2i (x+1)2−1+(y−21)2−41−5=0 et z=−3+2i (x+1)2+(y−21)2=5+1+41 et z=−3+2i (x+1)2+(y−21)2=425 et z=−3+2i (x+1)2+(y−21)2=(25)2 et z=−3+2i L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(−1;21) et de rayon 25 privé du point d'affixe −3+2i.
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