Exercices types $1$^ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe différent de $1$, on pose $z=x+iy$.
Il vient alors que :
$Z=\frac{x+iy+2i}{x+iy-1}$ équivaut successivement à
$Z=\frac{x+iy+2i}{x-1+iy}$ on multiplie maintenant par le conjugué du dénominateur
$Z=\frac{\left(x+iy+2i\right)\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}{\left[\left(x-1\right)+i\left(y\right)\right]\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}$
$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+iyx-iy+y^{2} +2ix-2i+2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } +i\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$
On a donc la partie réelle de $Z$ qui vaut $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$
et la partie imaginaire de $Z$ qui vaut $\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2}} =0$
$-y+2x-2=0{\text{ et }}z\ne 1$ (on indique $z\ne 1$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$y=2x-2{\text{ et }}z\ne 1$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est la droite d'équation $y=2x-2$ privé du point d'affixe $1$.

$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } =0$
$x^{2} -x+y^{2} +2y=0{\text{ et }}z\ne 1$ (on indique $z\ne 1$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0{\text{ et }}z\ne 1$
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\frac{5}{4} {\text{ et }}z\ne 1$
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{{\text 2}} {\text{ et }}z\ne 1$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\Omega \left(\frac{1}{2} ;-1\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{5} }{2}$ privé du point d'affixe $1$.

$Z=\frac{z-1}{z+1}$ équivaut successivement à :
$Z=\frac{x+iy-1}{x+iy+1}$
$Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}{\left(\left(x+1\right)+iy\right)\left(\left(x+1\right)-iy\right)}$
$Z=\frac{\left(x+iy-1\right)\left(x+1-iy\right)}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy-i^{2} y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +x-ixy+iyx+iy+y^{2} -x-1+iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1+2iy}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } +\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } i$
La partie réelle de $Z$, notée $\text{Re}\left(Z\right)$, est : $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$
La partie imaginaire de $Z$, notée $\text{Im}\left(Z\right)$, est : $\text{Im}\left(Z\right)=\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{2y}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0$
$2y=0{\text{ et }}z\ne 1$ (on indique $z\ne 1$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$y=0{\text{ et }}z\ne 1$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est la droite d'équation $y=0$ privé du point d'affixe $1$.

$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{x^{2} +y^{2} -1}{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } =0$ (on indique $z\ne 1$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$x^{2} +y^{2} -1=0$ ${\text{ et }}z\ne 1$
$\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} -1=0 {\text{ et }}z\ne 1$
$\left(x-0\right)^{2} +\left(y-0\right)^{2} =1 {\text{ et }}z\ne 1$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\Omega \left(0;0 \right)$ et de rayon $1$ privé du point d'affixe $1$.

$Z=\frac{x+iy-2i}{x+iy-1-i}$ équivaut successivement à :
$Z=\frac{x+iy-2i}{x-1+i\left(y-1\right)}$
$Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}$
$Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-iy+i\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}$
$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy-i^{2} y^{2} +i^{2} y-2ix+2i+2i^{2} y-2i^{2} }{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy+y^{2} -y-2ix+2i-2y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} -x-ix-iy+y^{2} -3y+2i+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }+i\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$
La partie réelle de $Z$, notée $\text{Re}\left(Z\right)$, est : $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$
La partie imaginaire de $Z$, notée $\text{Im}\left(Z\right)$, est : $\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0$
$-x-y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$ (on indique $z\ne 1+i$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$y=-x+2{\text{ et }}z\ne 1+i$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est la droite d'équation $y=-x+2$ privé du point d'affixe $1+i$.

$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0$
$x^{2} +y^{2} -x-3y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$ (on indique $z\ne 1+i$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\frac{1}{2} {\text{ et }}z\ne 1+i$
$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\sqrt{\frac{1}{2} } {\text{ et }}z\ne 1+i$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\Omega \left(\frac{1}{2} ;\frac{3}{2} \right)$ et de rayon $\sqrt{\frac{1}{2} }$ privé du point d'affixe $1+i$.

$Z=\frac{z-1+i}{z+3-2i}$ équivaut successivement à :
$Z=\frac{x+iy-1+i}{x+iy+3-2i}$
$Z=\frac{x+iy-1+i}{x+3+i\left(y-2\right)}$
$Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}{\left(x+3+i\left(y-2\right)\right)\left(x+3-i\left(y-2\right)\right)}$
$Z=\frac{\left(x+iy-1+i\right)\left(x+3-iy+2i\right)}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy-i^{2} y^{2} +2i^{2} y-x-3+iy-2i+ix+3i-i^{2} y+2i^{2} }{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +3x-iyx+2ix+iyx+3iy+y^{2} -2y-x-3+iy-2i+ix+3i+y-2}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x+3ix+4iy-y+i-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
$Z=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } +i\times \frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
On a donc la partie réelle de $Z$ qui vaut $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$
et la partie imaginaire de $Z$ qui vaut $\text{Im}\left(Z\right)=\frac{3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{-2yx+3x+4y+1}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0$
$-2yx+3x+4y+1=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$ (on indique $z\ne -3+2i$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$-2yx+4y=-3x-1{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$y\left(-2x+4\right)=-3x-1{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$y=\frac{-3x-1}{-2x+4} {\text{ et }}z\ne -3+2i$ et $x\ne2$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est la courbe d'équation $y=\frac{-3x-1}{-2x+4}$ privé du point d'affixe $1+i$ et de la droite verticale $x=2$.

$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{x^{2} +y^{2} +2x-y-5}{\left(x+3\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } =0$
$x^{2} +y^{2} +2x-y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$ (on indique $z\ne -3+2i$ car c'est la valeur interdite de $Z$)
$x^{2} +2x+y^{2} -y-5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$\left(x+1\right)^{2} -1^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$\left(x+1\right)^{2} -1+\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{4} -5=0{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =5+1+\frac{1}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\frac{25}{4}{\text{ et }}z\ne -3+2i$
$\left(x+1\right)^{2} +\left(y-\frac{1}{2} \right)^{2} =\left(\frac{5}{2} \right)^{2}{\text{ et }}z\ne -3+2i$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\Omega \left(-1;\frac{1}{2} \right)$ et de rayon $\frac{5}{2}$ privé du point d'affixe $-3+2i$.