Exercices types $$1$$^ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 1

Soit $$z$$ un nombre complexe différent de $$1$$, on pose $$z=x+iy$$.
Il vient alors que :
$$Z=\frac{x+iy+2i}{x+iy-1}$$ équivaut successivement à
$$Z=\frac{x+iy+2i}{x-1+iy}$$ on multiplie maintenant par le conjugué du dénominateur
$$Z=\frac{\left(x+iy+2i\right)\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}{\left[\left(x-1\right)+i\left(y\right)\right]\left[\left(x-1\right)-i\left(y\right)\right]}$$
$$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+iyx-iy+y^{2} +2ix-2i+2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } +i\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$$
On a donc la partie réelle de $$Z$$ qui vaut $$\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$$
et la partie imaginaire de $$Z$$ qui vaut $$\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} }$$

$$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-y+2x-2}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2}} =0$$
$$-y+2x-2=0{\text{ et }}z\ne 1$$ (on indique $$z\ne 1$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$y=2x-2{\text{ et }}z\ne 1$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est la droite d'équation $$y=2x-2$$ privé du point d'affixe $$1$$.

$$\text{Re}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x^{2} -x+y^{2} +2y}{\left(x-1\right)^{2} +y^{2} } =0$$
$$x^{2} -x+y^{2} +2y=0{\text{ et }}z\ne 1$$ (on indique $$z\ne 1$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0{\text{ et }}z\ne 1$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\frac{5}{4} {\text{ et }}z\ne 1$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y+1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{{\text 2}} {\text{ et }}z\ne 1$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $$\Omega \left(\frac{1}{2} ;-1\right)$$ et de rayon $$\frac{\sqrt{5} }{2}$$ privé du point d'affixe $$1$$.