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Nombres complexes : point de vue algébrique
Equations du 1er degré dans
C
\mathbb{C}
C
- Exercice 2
10 min
25
Résoudre dans
C
\mathbb{C}
C
les équations ci-dessous. Les solutions doivent être données sous forme algébrique.
Question 1
z
+
4
−
5
i
=
2
+
2
i
z
z+4-5i=2+2iz
z
+
4
−
5
i
=
2
+
2
i
z
Correction
z
+
4
−
5
i
=
2
+
2
i
z
z+4-5i=2+2iz
z
+
4
−
5
i
=
2
+
2
i
z
Il vient alors que :
z
−
2
i
z
=
−
4
+
5
i
+
2
z-2iz=-4+5i+2
z
−
2
i
z
=
−
4
+
5
i
+
2
z
−
2
i
z
=
−
2
+
5
i
{\color{blue}z}-2i{\color{blue}z}=-2+5i
z
−
2
i
z
=
−
2
+
5
i
d'où
z
(
1
−
2
i
)
=
−
2
+
5
i
{\color{blue}z}\left(1-2i\right)=-2+5i
z
(
1
−
2
i
)
=
−
2
+
5
i
(on a factorisé par
z
{\color{blue}z}
z
)
Ainsi :
z
=
−
2
+
5
i
1
−
2
i
z=\frac{-2+5i}{1-2i}
z
=
1
−
2
i
−
2
+
5
i
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
(
−
2
+
5
i
)
(
1
+
2
i
)
(
1
−
2
i
)
(
1
+
2
i
)
z=\frac{\left(-2+5i\right)\left(1+2i\right)}{\left(1-2i\right)\left(1+2i\right)}
z
=
(
1
−
2
i
)
(
1
+
2
i
)
(
−
2
+
5
i
)
(
1
+
2
i
)
z
=
−
2
−
4
i
+
5
i
+
10
i
2
1
2
+
2
2
z=\frac{-2-4i+5i+10i^{2} }{1^{2} +2^{2} }
z
=
1
2
+
2
2
−
2
−
4
i
+
5
i
+
10
i
2
z
=
−
12
+
i
5
z=\frac{-12+i}{5}
z
=
5
−
12
+
i
Finalement :
z
=
−
12
5
+
1
5
i
z=-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i
z
=
−
5
12
+
5
1
i
Ainsi la solution est
S
=
{
−
12
5
+
1
5
i
}
S=\left\{-\frac{12}{5} +\frac{1}{5} i\right\}
S
=
{
−
5
12
+
5
1
i
}
Question 2
(
z
+
2
i
)
(
2
z
−
4
+
2
i
)
=
0
\left(z+2i\right)\left(2z-4+2i\right)=0
(
z
+
2
i
)
(
2
z
−
4
+
2
i
)
=
0
Correction
On a une équation produit nul
(
z
+
2
i
)
(
2
z
−
4
+
2
i
)
=
0
\left(z+2i\right)\left(2z-4+2i\right)=0
(
z
+
2
i
)
(
2
z
−
4
+
2
i
)
=
0
c'est-à-dire
z
+
2
i
=
0
z+2i=0
z
+
2
i
=
0
ou
2
z
−
4
+
2
i
=
0
2z-4+2i=0
2
z
−
4
+
2
i
=
0
R
e
ˊ
solvons d’une part :
\red{\text{Résolvons d'une part :}}
R
e
ˊ
solvons d’une part :
z
+
2
i
=
0
z+2i=0
z
+
2
i
=
0
donc
z
=
−
2
i
z=-2i
z
=
−
2
i
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
\red{\text{Résolvons d'autre part :}}
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
2
z
−
4
+
2
i
=
0
⇔
2
z
=
4
−
2
i
⇔
z
=
4
−
2
i
2
⇔
z
=
2
−
i
2z-4+2i=0\Leftrightarrow 2z=4-2i\Leftrightarrow z=\frac{4-2i}{2} \Leftrightarrow z=2-i
2
z
−
4
+
2
i
=
0
⇔
2
z
=
4
−
2
i
⇔
z
=
2
4
−
2
i
⇔
z
=
2
−
i
Ainsi les solutions sont :
S
=
{
−
2
i
;
2
−
i
}
S=\left\{-2i;2-i\right\}
S
=
{
−
2
i
;
2
−
i
}
Question 3
z
+
1
2
z
+
1
=
1
+
i
\frac{z+1}{2z+1} =1+i
2
z
+
1
z
+
1
=
1
+
i
Correction
A
B
=
C
D
⇔
A
×
D
=
B
×
C
\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
B
A
=
D
C
⇔
A
×
D
=
B
×
C
Soit
z
≠
−
1
2
z\ne -\frac{1}{2}
z
=
−
2
1
z
+
1
2
z
+
1
=
1
+
i
\frac{z+1}{2z+1} =1+i
2
z
+
1
z
+
1
=
1
+
i
peut s'écrire
z
+
1
2
z
+
1
=
1
+
i
1
\frac{z+1}{2z+1} =\frac{1+i}{1}
2
z
+
1
z
+
1
=
1
1
+
i
.
Il vient alors que :
z
+
1
=
(
2
z
+
1
)
(
1
+
i
)
z+1=\left(2z+1\right)\left(1+i\right)
z
+
1
=
(
2
z
+
1
)
(
1
+
i
)
équivaut successivement à
z
+
1
=
2
z
+
2
i
z
+
1
+
i
z+1=2z+2iz+1+i
z
+
1
=
2
z
+
2
i
z
+
1
+
i
z
−
2
z
−
2
i
z
=
i
z-2z-2iz=i
z
−
2
z
−
2
i
z
=
i
−
z
−
2
i
z
=
i
-{\color{blue}z}-2i{\color{blue}z}=i
−
z
−
2
i
z
=
i
z
(
−
1
−
2
i
)
=
i
{\color{blue}z}\left(-1-2i\right)=i
z
(
−
1
−
2
i
)
=
i
z
=
i
−
1
−
2
i
z=\frac{i}{-1-2i}
z
=
−
1
−
2
i
i
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
i
(
−
1
+
2
i
)
(
−
1
−
2
i
)
(
−
1
+
2
i
)
z=\frac{i\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}
z
=
(
−
1
−
2
i
)
(
−
1
+
2
i
)
i
(
−
1
+
2
i
)
z
=
i
×
(
−
1
)
+
i
×
2
i
(
−
1
)
2
+
2
2
z=\frac{i\times \left(-1\right)+i\times 2i}{\left(-1\right)^{2} +2^{2} }
z
=
(
−
1
)
2
+
2
2
i
×
(
−
1
)
+
i
×
2
i
z
=
−
i
+
2
i
2
5
z=\frac{-i+2i^{2} }{5}
z
=
5
−
i
+
2
i
2
z
=
−
i
−
2
5
z=\frac{-i-2}{5}
z
=
5
−
i
−
2
z
=
−
2
5
−
1
5
i
z=-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i
z
=
−
5
2
−
5
1
i
Ainsi la solution est
S
=
{
−
2
5
−
1
5
i
}
S=\left\{-\frac{2}{5} -\frac{1}{5} i\right\}
S
=
{
−
5
2
−
5
1
i
}
Question 4
z
−
3
+
i
z
+
2
−
i
=
−
2
i
\frac{z-3+i}{z+2-i} =-2i
z
+
2
−
i
z
−
3
+
i
=
−
2
i
Correction
A
B
=
C
D
⇔
A
×
D
=
B
×
C
\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
B
A
=
D
C
⇔
A
×
D
=
B
×
C
Soit
z
≠
−
2
+
i
z\ne -2+i
z
=
−
2
+
i
z
−
3
+
i
z
+
2
−
i
=
−
2
i
\frac{z-3+i}{z+2-i} =-2i
z
+
2
−
i
z
−
3
+
i
=
−
2
i
peut s'écrire
z
−
3
+
i
z
+
2
−
i
=
−
2
i
1
\frac{z-3+i}{z+2-i} =\frac{-2i}{1}
z
+
2
−
i
z
−
3
+
i
=
1
−
2
i
.
Il vient alors que :
(
z
+
2
−
i
)
×
(
−
2
i
)
=
(
z
−
3
+
i
)
×
1
\left(z+2-i\right)\times \left(-2i\right)=\left(z-3+i\right)\times 1
(
z
+
2
−
i
)
×
(
−
2
i
)
=
(
z
−
3
+
i
)
×
1
équivaut successivement à
−
2
i
z
−
4
i
+
2
i
2
=
z
−
3
+
i
-2iz-4i+2i^{2}=z-3+i
−
2
i
z
−
4
i
+
2
i
2
=
z
−
3
+
i
−
2
i
z
−
4
i
−
2
=
z
−
3
+
i
-2iz-4i-2=z-3+i
−
2
i
z
−
4
i
−
2
=
z
−
3
+
i
−
2
i
z
−
z
=
−
3
+
i
+
4
i
+
2
-2iz-z=-3+i+4i+2
−
2
i
z
−
z
=
−
3
+
i
+
4
i
+
2
−
2
i
z
−
z
=
−
1
+
5
i
-2i{\color{blue}z}-{\color{blue}z}=-1+5i
−
2
i
z
−
z
=
−
1
+
5
i
z
(
−
1
−
2
i
)
=
−
1
+
5
i
{\color{blue}z}\left(-1-2i\right)=-1+5i
z
(
−
1
−
2
i
)
=
−
1
+
5
i
z
=
−
1
+
5
i
−
1
−
2
i
z=\frac{-1+5i}{-1-2i}
z
=
−
1
−
2
i
−
1
+
5
i
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
(
−
1
+
5
i
)
(
−
1
+
2
i
)
(
−
1
−
2
i
)
(
−
1
+
2
i
)
z=\frac{\left(-1+5i\right)\left(-1+2i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}
z
=
(
−
1
−
2
i
)
(
−
1
+
2
i
)
(
−
1
+
5
i
)
(
−
1
+
2
i
)
z
=
−
1
×
(
−
1
)
−
1
×
2
i
+
5
i
×
(
−
1
)
+
5
i
×
2
i
(
−
1
)
2
+
2
2
z=\frac{-1\times \left(-1\right)-1\times 2i+5i\times \left(-1\right)+5i\times 2i}{\left(-1\right)^{2} +2^{2} }
z
=
(
−
1
)
2
+
2
2
−
1
×
(
−
1
)
−
1
×
2
i
+
5
i
×
(
−
1
)
+
5
i
×
2
i
z
=
1
−
2
i
−
5
i
+
10
i
2
5
z=\frac{1-2i-5i+10i^{2} }{5}
z
=
5
1
−
2
i
−
5
i
+
10
i
2
z
=
1
−
2
i
−
5
i
+
10
×
(
−
1
)
5
z=\frac{1-2i-5i+10\times \left(-1\right)}{5}
z
=
5
1
−
2
i
−
5
i
+
10
×
(
−
1
)
z
=
1
−
2
i
−
5
i
−
10
5
z=\frac{1-2i-5i-10}{5}
z
=
5
1
−
2
i
−
5
i
−
10
z
=
−
9
−
7
i
5
z=\frac{-9-7i}{5}
z
=
5
−
9
−
7
i
z
=
−
9
5
−
7
5
i
z=-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i
z
=
−
5
9
−
5
7
i
Ainsi la solution est
S
=
{
−
9
5
−
7
5
i
}
S=\left\{-\frac{9}{5} -\frac{7}{5} i\right\}
S
=
{
−
5
9
−
5
7
i
}