Equations du 1er degré dans C\mathbb{C} - Exercice 1

20 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équations ci-dessous. Les solutions doivent être données sous forme algébrique.
Question 1

2z+2i−1=5z+4i2z+2i-1=5z+4i

Correction
2z+2i−1=5z+4i2z+2i-1=5z+4i équivaut successivement à
2z−5z=1−2i+4i2z-5z=1-2i+4i
−3z=1+2i-3z=1+2i
z=−13−23iz=-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i

Ainsi la solution est S={−13−23i}S=\left\{-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i\right\}
Question 2

3z+4i−2=−z+2i+33z+4i-2=-z+2i+3

Correction
3z+4i−2=−z+2i+33z+4i-2=-z+2i+3 équivaut successivement à
3z+z=2i+3−4i+23z+z=2i+3-4i+2
4z=−2i+54z=-2i+5
z=54−24iz=\frac{5}{4} -\frac{2}{4} i
z=54−12iz=\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i

Ainsi la solution est S={54−12i}S=\left\{\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i\right\}
Question 3

−z+2=2z−3i−5-z+2=2z-3i-5

Correction
−z+2=2z−3i−5-z+2=2z-3i-5 équivaut successivement à
−z−2z=−2−3i−5-z-2z=-2-3i-5
−3z=−7−3i-3z=-7-3i
z=−7−3i−3z=\frac{-7-3i}{-3}
z=−7−3+−3i−3z=\frac{-7}{-3} +\frac{-3i}{-3}
z=73+iz=\frac{7}{3} +i

Ainsi la solution est S={73+i}S=\left\{\frac{7}{3} +i\right\}
Question 4

iz=2iz=2

Correction
Soit iz=2iz=2
On a z=2iz=\frac{2}{i}
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=2(−i)i(−i)z=\frac{2\left(-i\right)}{i\left(-i\right)}
    z=−2i12z=\frac{-2i}{1^2}
    z=−2iz=-2i

    Ainsi la solution est S={−2i}S=\left\{-2i\right\}
    Question 5

    (2+i)z=1+i\left(2+i\right)z=1+i

    Correction
    (2+i)z=1+i\left(2+i\right)z=1+i équivaut successivement à
    z=1+i2+iz=\frac{1+i}{2+i}
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=(1+i)(2−i)(2+i)(2−i)z=\frac{\left(1+i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}
    z=2−i+2i−i222+12z=\frac{2-i+2i-i^{2} }{2^{2} +1^{2} }
    z=2−i+2i−(−1)5z=\frac{2-i+2i-\left(-1\right)}{5}
    z=2−i+2i+15z=\frac{2-i+2i+1}{5}
    z=3+i5z=\frac{3+i}{5}
    z=35+15iz=\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i

    Ainsi la solution est S={35+15i}S=\left\{\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i\right\}
    Question 6

    3iz+5=2z+i+13iz+5=2z+i+1

    Correction
    3iz+5=2z+i+13iz+5=2z+i+1
    Il vient alors que :
    3iz−2z=−5+i+13i{\color{blue}z}-2{\color{blue}z}=-5+i+1
    d'où z(3i−2)=−4+i{\color{blue}z}\left(3i-2\right)=-4+i (on a factorisé par z{\color{blue}z})
    Ainsi :
    z=−4+i3i−2z=\frac{-4+i}{3i-2}
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z=(−4+i)(−3i−2)(3i−2)(−3i−2)z=\frac{\left(-4+i\right)\left(-3i-2\right)}{\left(3i-2\right)\left(-3i-2\right)}
    z=−4×(−3i)−4×(−2)+i×(−3i)+i×(−2)32+22z=\frac{-4\times \left(-3i\right)-4\times \left(-2\right)+i\times \left(-3i\right)+i\times \left(-2\right)}{3^{2} +2^{2} }
    z=12i+8−3i2−2i13z=\frac{12i+8-3i^{2} -2i}{13}
    z=12i+8−3×(−1)−2i13z=\frac{12i+8-3\times \left(-1\right)-2i}{13}
    z=12i+8+3−2i13z=\frac{12i+8+3-2i}{13}
    z=11+10i13z=\frac{11+10i}{13}
    z=1113+1013iz=\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i

    Ainsi la solution est S={1113+1013i}S=\left\{\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i\right\}
    Question 7

    (z−3)(z−2i)=0\left(z-3\right)\left(z-2i\right)=0

    Correction
    On a une équation produit nul (z−3)(z−2i)=0\left(z-3\right)\left(z-2i\right)=0 c'est-à-dire
    z−3=0z-3=0 ou z−2i=0z-2i=0
    Reˊsolvons d’une part :\red{\text{Résolvons d'une part :}} z−3=0z-3=0 donc z=3z=3
    Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{Résolvons d'autre part :}} z−2i=0z-2i=0 donc z=2iz=2i
    Ainsi les solutions sont : S={3;2i}S=\left\{3;2i\right\}
    Question 8

    Soit z≠4z\ne 4 , résoudre : z+iz−4=2\frac{z+i}{z-4} =2

    Correction
    z+iz−4=2\frac{z+i}{z-4} =2 équivaut successivement à :
    z+iz−4=21\frac{z+i}{z-4} =\frac{2}{1}
    AB=CD⇔A×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
    (z+i)×1=(z−4)×2\left(z+i\right)\times 1=\left(z-4\right)\times 2
    z+i=2z−8z+i=2z-8
    z−2z=−8−iz-2z=-8-i
    −z=−8−i-z=-8-i
    Soit :
    z=8+iz=8+i

    Ainsi la solution est S={8+i}S=\left\{8+i\right\}

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