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Nombres complexes : point de vue algébrique
Equations du 1er degré dans
C
\mathbb{C}
C
- Exercice 1
20 min
35
Résoudre dans
C
\mathbb{C}
C
les équations ci-dessous. Les solutions doivent être données sous forme algébrique.
Question 1
2
z
+
2
i
−
1
=
5
z
+
4
i
2z+2i-1=5z+4i
2
z
+
2
i
−
1
=
5
z
+
4
i
Correction
2
z
+
2
i
−
1
=
5
z
+
4
i
2z+2i-1=5z+4i
2
z
+
2
i
−
1
=
5
z
+
4
i
équivaut successivement à
2
z
−
5
z
=
1
−
2
i
+
4
i
2z-5z=1-2i+4i
2
z
−
5
z
=
1
−
2
i
+
4
i
−
3
z
=
1
+
2
i
-3z=1+2i
−
3
z
=
1
+
2
i
z
=
−
1
3
−
2
3
i
z=-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i
z
=
−
3
1
−
3
2
i
Ainsi la solution est
S
=
{
−
1
3
−
2
3
i
}
S=\left\{-\frac{1}{3} -\frac{2}{3} i\right\}
S
=
{
−
3
1
−
3
2
i
}
Question 2
3
z
+
4
i
−
2
=
−
z
+
2
i
+
3
3z+4i-2=-z+2i+3
3
z
+
4
i
−
2
=
−
z
+
2
i
+
3
Correction
3
z
+
4
i
−
2
=
−
z
+
2
i
+
3
3z+4i-2=-z+2i+3
3
z
+
4
i
−
2
=
−
z
+
2
i
+
3
équivaut successivement à
3
z
+
z
=
2
i
+
3
−
4
i
+
2
3z+z=2i+3-4i+2
3
z
+
z
=
2
i
+
3
−
4
i
+
2
4
z
=
−
2
i
+
5
4z=-2i+5
4
z
=
−
2
i
+
5
z
=
5
4
−
2
4
i
z=\frac{5}{4} -\frac{2}{4} i
z
=
4
5
−
4
2
i
z
=
5
4
−
1
2
i
z=\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i
z
=
4
5
−
2
1
i
Ainsi la solution est
S
=
{
5
4
−
1
2
i
}
S=\left\{\frac{5}{4} -\frac{1}{2} i\right\}
S
=
{
4
5
−
2
1
i
}
Question 3
−
z
+
2
=
2
z
−
3
i
−
5
-z+2=2z-3i-5
−
z
+
2
=
2
z
−
3
i
−
5
Correction
−
z
+
2
=
2
z
−
3
i
−
5
-z+2=2z-3i-5
−
z
+
2
=
2
z
−
3
i
−
5
équivaut successivement à
−
z
−
2
z
=
−
2
−
3
i
−
5
-z-2z=-2-3i-5
−
z
−
2
z
=
−
2
−
3
i
−
5
−
3
z
=
−
7
−
3
i
-3z=-7-3i
−
3
z
=
−
7
−
3
i
z
=
−
7
−
3
i
−
3
z=\frac{-7-3i}{-3}
z
=
−
3
−
7
−
3
i
z
=
−
7
−
3
+
−
3
i
−
3
z=\frac{-7}{-3} +\frac{-3i}{-3}
z
=
−
3
−
7
+
−
3
−
3
i
z
=
7
3
+
i
z=\frac{7}{3} +i
z
=
3
7
+
i
Ainsi la solution est
S
=
{
7
3
+
i
}
S=\left\{\frac{7}{3} +i\right\}
S
=
{
3
7
+
i
}
Question 4
i
z
=
2
iz=2
i
z
=
2
Correction
Soit
i
z
=
2
iz=2
i
z
=
2
On a
z
=
2
i
z=\frac{2}{i}
z
=
i
2
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
2
(
−
i
)
i
(
−
i
)
z=\frac{2\left(-i\right)}{i\left(-i\right)}
z
=
i
(
−
i
)
2
(
−
i
)
z
=
−
2
i
1
2
z=\frac{-2i}{1^2}
z
=
1
2
−
2
i
z
=
−
2
i
z=-2i
z
=
−
2
i
Ainsi la solution est
S
=
{
−
2
i
}
S=\left\{-2i\right\}
S
=
{
−
2
i
}
Question 5
(
2
+
i
)
z
=
1
+
i
\left(2+i\right)z=1+i
(
2
+
i
)
z
=
1
+
i
Correction
(
2
+
i
)
z
=
1
+
i
\left(2+i\right)z=1+i
(
2
+
i
)
z
=
1
+
i
équivaut successivement à
z
=
1
+
i
2
+
i
z=\frac{1+i}{2+i}
z
=
2
+
i
1
+
i
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
(
1
+
i
)
(
2
−
i
)
(
2
+
i
)
(
2
−
i
)
z=\frac{\left(1+i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}
z
=
(
2
+
i
)
(
2
−
i
)
(
1
+
i
)
(
2
−
i
)
z
=
2
−
i
+
2
i
−
i
2
2
2
+
1
2
z=\frac{2-i+2i-i^{2} }{2^{2} +1^{2} }
z
=
2
2
+
1
2
2
−
i
+
2
i
−
i
2
z
=
2
−
i
+
2
i
−
(
−
1
)
5
z=\frac{2-i+2i-\left(-1\right)}{5}
z
=
5
2
−
i
+
2
i
−
(
−
1
)
z
=
2
−
i
+
2
i
+
1
5
z=\frac{2-i+2i+1}{5}
z
=
5
2
−
i
+
2
i
+
1
z
=
3
+
i
5
z=\frac{3+i}{5}
z
=
5
3
+
i
z
=
3
5
+
1
5
i
z=\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i
z
=
5
3
+
5
1
i
Ainsi la solution est
S
=
{
3
5
+
1
5
i
}
S=\left\{\frac{3}{5} +\frac{1}{5} i\right\}
S
=
{
5
3
+
5
1
i
}
Question 6
3
i
z
+
5
=
2
z
+
i
+
1
3iz+5=2z+i+1
3
i
z
+
5
=
2
z
+
i
+
1
Correction
3
i
z
+
5
=
2
z
+
i
+
1
3iz+5=2z+i+1
3
i
z
+
5
=
2
z
+
i
+
1
Il vient alors que :
3
i
z
−
2
z
=
−
5
+
i
+
1
3i{\color{blue}z}-2{\color{blue}z}=-5+i+1
3
i
z
−
2
z
=
−
5
+
i
+
1
d'où
z
(
3
i
−
2
)
=
−
4
+
i
{\color{blue}z}\left(3i-2\right)=-4+i
z
(
3
i
−
2
)
=
−
4
+
i
(on a factorisé par
z
{\color{blue}z}
z
)
Ainsi :
z
=
−
4
+
i
3
i
−
2
z=\frac{-4+i}{3i-2}
z
=
3
i
−
2
−
4
+
i
Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut
multiplier
\red{\text{multiplier}}
multiplier
le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Soit
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z
=
x
+
i
y
et
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z
=
x
−
i
y
son conjugué, alors
z
×
z
‾
=
x
2
+
y
2
z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
z
×
z
=
x
2
+
y
2
z
=
(
−
4
+
i
)
(
−
3
i
−
2
)
(
3
i
−
2
)
(
−
3
i
−
2
)
z=\frac{\left(-4+i\right)\left(-3i-2\right)}{\left(3i-2\right)\left(-3i-2\right)}
z
=
(
3
i
−
2
)
(
−
3
i
−
2
)
(
−
4
+
i
)
(
−
3
i
−
2
)
z
=
−
4
×
(
−
3
i
)
−
4
×
(
−
2
)
+
i
×
(
−
3
i
)
+
i
×
(
−
2
)
3
2
+
2
2
z=\frac{-4\times \left(-3i\right)-4\times \left(-2\right)+i\times \left(-3i\right)+i\times \left(-2\right)}{3^{2} +2^{2} }
z
=
3
2
+
2
2
−
4
×
(
−
3
i
)
−
4
×
(
−
2
)
+
i
×
(
−
3
i
)
+
i
×
(
−
2
)
z
=
12
i
+
8
−
3
i
2
−
2
i
13
z=\frac{12i+8-3i^{2} -2i}{13}
z
=
13
12
i
+
8
−
3
i
2
−
2
i
z
=
12
i
+
8
−
3
×
(
−
1
)
−
2
i
13
z=\frac{12i+8-3\times \left(-1\right)-2i}{13}
z
=
13
12
i
+
8
−
3
×
(
−
1
)
−
2
i
z
=
12
i
+
8
+
3
−
2
i
13
z=\frac{12i+8+3-2i}{13}
z
=
13
12
i
+
8
+
3
−
2
i
z
=
11
+
10
i
13
z=\frac{11+10i}{13}
z
=
13
11
+
10
i
z
=
11
13
+
10
13
i
z=\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i
z
=
13
11
+
13
10
i
Ainsi la solution est
S
=
{
11
13
+
10
13
i
}
S=\left\{\frac{11}{13} +\frac{10}{13} i\right\}
S
=
{
13
11
+
13
10
i
}
Question 7
(
z
−
3
)
(
z
−
2
i
)
=
0
\left(z-3\right)\left(z-2i\right)=0
(
z
−
3
)
(
z
−
2
i
)
=
0
Correction
On a une équation produit nul
(
z
−
3
)
(
z
−
2
i
)
=
0
\left(z-3\right)\left(z-2i\right)=0
(
z
−
3
)
(
z
−
2
i
)
=
0
c'est-à-dire
z
−
3
=
0
z-3=0
z
−
3
=
0
ou
z
−
2
i
=
0
z-2i=0
z
−
2
i
=
0
R
e
ˊ
solvons d’une part :
\red{\text{Résolvons d'une part :}}
R
e
ˊ
solvons d’une part :
z
−
3
=
0
z-3=0
z
−
3
=
0
donc
z
=
3
z=3
z
=
3
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
\red{\text{Résolvons d'autre part :}}
R
e
ˊ
solvons d’autre part :
z
−
2
i
=
0
z-2i=0
z
−
2
i
=
0
donc
z
=
2
i
z=2i
z
=
2
i
Ainsi les solutions sont :
S
=
{
3
;
2
i
}
S=\left\{3;2i\right\}
S
=
{
3
;
2
i
}
Question 8
Soit
z
≠
4
z\ne 4
z
=
4
, résoudre :
z
+
i
z
−
4
=
2
\frac{z+i}{z-4} =2
z
−
4
z
+
i
=
2
Correction
z
+
i
z
−
4
=
2
\frac{z+i}{z-4} =2
z
−
4
z
+
i
=
2
équivaut successivement à :
z
+
i
z
−
4
=
2
1
\frac{z+i}{z-4} =\frac{2}{1}
z
−
4
z
+
i
=
1
2
A
B
=
C
D
⇔
A
×
D
=
B
×
C
\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
B
A
=
D
C
⇔
A
×
D
=
B
×
C
(
z
+
i
)
×
1
=
(
z
−
4
)
×
2
\left(z+i\right)\times 1=\left(z-4\right)\times 2
(
z
+
i
)
×
1
=
(
z
−
4
)
×
2
z
+
i
=
2
z
−
8
z+i=2z-8
z
+
i
=
2
z
−
8
z
−
2
z
=
−
8
−
i
z-2z=-8-i
z
−
2
z
=
−
8
−
i
−
z
=
−
8
−
i
-z=-8-i
−
z
=
−
8
−
i
Soit :
z
=
8
+
i
z=8+i
z
=
8
+
i
Ainsi la solution est
S
=
{
8
+
i
}
S=\left\{8+i\right\}
S
=
{
8
+
i
}