Equation faisant intervenir $$z$$ et $$\overline{z}$$ - Exercice 3

On pose $$z=x+iy$$ et $$\overline{z}=x-iy$$, on a alors :
$$Z=2\left(x+iy\right)+5\left(x-iy\right)+2-5i$$ équivaut successivement à :
$$Z=2x+2iy+5x-5iy+2-5i$$
$$Z=7x-3iy+2-5i$$
$$Z=\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)$$

Nous savons que : $$0=0+0i$$ .
$$Z=0\Leftrightarrow \left({\color{blue}{7x+2}}\right)+i\left(\color{red}{-3y-5}\right)={\color{blue}{0}}+{\color{red}{0}}i.$$
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{7x+2}}} & {=} & {\color{blue}{0}} \\ {\color{red}{-3y-5}} & {=} & {\color{red}{0}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {-2} \\ {-3y} & {=} & {5} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{2}{7} } \\ {y} & {=} & {-\frac{5}{3} } \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=0$$ est $$z=-\frac{2}{7} -\frac{5}{3}i$$

$$Z=1+2i$$ équivaut successivement à
$$\left(7x+2\right)+i\left(-3y-5\right)=1+2i$$
$$\left({\color{blue}{7x+2}}\right)+i\left(\color{red}{-3y-5}\right)={\color{blue}{1}}+{\color{red}{2}}i.$$
On obtient un système qu'il va falloir résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{7x+2}}} & {=} & {{\color{blue}{1}}} \\ {\color{red}{-3y-5}} & {=} & {\color{red}{2}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {1-2} \\ {-3y} & {=} & {5+2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {7x} & {=} & {-1} \\ {-3y} & {=} & {7} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{1}{7} } \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{3} } \end{array}\right.$$
La solution de l'équation $$Z=1+2i$$ est $$z=-\frac{1}{7} -\frac{7}{3}i$$