Equation faisant intervenir $$z$$ et $$\overline{z}$$ : Mode EXPERT - Exercice 1

On pose $$z=x+i y$$ avec $$x, y \in \mathbb{R}$$, donc $$\bar{z}=x-i y$$.
$$z^2+10 \bar{z}-11=0$$
$$(x+i y)^2+10(x-i y)-11=0$$
$$x^2+2 i x y-y^2+10 x-10 i y-11=0$$
$$\left(x^2-y^2+10 x-11\right)+i(2 x y-10 y)=0$$
Un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est nulle et si sa partie imaginaire est également nul, d'où :
$$\left\{\begin{array}{l}x^2+10 x-y^2-11=0 \\ 2 x y-10 y=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x^2+10 x-y^2-11=0 \\ 2 y(x-5)=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-y^2-11=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-y^2-11=0 \\ x-5=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-11=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-y^2-11=0 \\ x=5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-11=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} 5^2+10 \times5-y^2-11=0 \\ x=5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-11=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y^2=64 \\ x=5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2+10 x-11=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=8 \text{ ou } y=-8 \\ x=5\end{array}\right.$$
Nous allons résoudre l'équation $$x^2+10 x-11=0$$ . On utilise le discriminant et on obtient :
$$\Delta=144$$ ; $$x_1=-11$$ et $$x_2=1$$
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{l} x=-11 \text{ ou } x=1 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=8 \text{ ou } y=-8 \\ x=5\end{array}\right.$$
On a donc $$4$$ solutions possibles :
Si $$x=-11$$ et $$y=0$$ alors la première solution est $$z_1=-11+0i=-11$$
Si $$x=1$$ et $$y=0$$ alors la deuxième solution est $$z_2=1+0i=1$$
Si $$x=5$$ et $$y=8$$ alors la troisième solution est $$z_3=5+8i$$
Si $$x=5$$ et $$y=-8$$ alors la quatrième solution est $$z_4=5-8i$$
Ainsi :

Résoudre dans $$\mathbb{C}$$ l'équation suivante en donnant les solutions sous forme algébrique : $$z^2-10 \bar{z}-39=0$$
On posera $$z=x+i y$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux réels. $$z^2-10 \bar{z}-39=0$$
$$(x+i y)^2-10(x-i y)-39=0$$
$$x^2+2 i x y-y^2-10 x+10 i y-39=0$$
$$\left(x^2-y^2-10 x-39\right)+i(2 x y+10 y)=0$$
Un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est nulle et si sa partie imaginaire est également nul, d'où :
$$\left\{\begin{array}{l}x^2-10 x-y^2-39=0 \\ 2 x y+10 y=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x^2-10 x-y^2-39=0 \\ 2 y(x+5)=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-y^2-39=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-y^2-39=0 \\ x+5=0\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-39=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-y^2-39=0 \\ x=-5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-39=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} (-5)^2-10 \times(-5)-y^2-39=0 \\ x=-5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-39=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y^2=36 \\ x=-5\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l} x^2-10 x-39=0 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=6 \text{ ou } y=-6 \\ x=-5\end{array}\right.$$
Nous allons résoudre l'équation $$x^2-10 x-39=0$$ . On utilise le discriminant et on obtient :
$$\Delta=256$$ ; $$x_1=-3$$ et $$x_2=13$$
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{l} x=-3 \text{ ou } x=13 \\ y=0\end{array} \quad\right.$$ ou $$\quad\left\{\begin{array}{l} y=6 \text{ ou } y=-6 \\ x=-5\end{array}\right.$$
On a donc $$4$$ solutions possibles :
Si $$x=-3$$ et $$y=0$$ alors la première solution est $$z_1=-3+0i=-3$$
Si $$x=13$$ et $$y=0$$ alors la deuxième solution est $$z_2=13+0i=13$$
Si $$x=-5$$ et $$y=6$$ alors la troisième solution est $$z_3=-5+6i$$
Si $$x=-5$$ et $$y=-6$$ alors la quatrième solution est $$z_4=-5-6i$$
Ainsi :