Equation faisant intervenir $$z$$ et $$\overline{z}$$ - Exercice 1

$$2\overline{z}=-4+3i$$ équivaut successivement à :
$$\overline{z}=-2+\frac{3}{2} i$$
$$\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-2+\frac{3}{2} i\right)}$$
Ainsi : $$z=-2-\frac{3}{2} i$$
Donc : $$S=\left\{-2-\frac{3}{2} i\right\}$$

$$3\overline{z}=6\overline{z}+2i$$ équivaut successivement à :
$$3\overline{z}-6\overline{z}=2i$$
$$-3\overline{z}=2i$$
$$\overline{z}=\frac{2i}{-3}$$
$$\overline{z}=-\frac{2}{3} i$$
$$\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-\frac{2}{3} i\right)}$$
Ainsi : $$z=\frac{2}{3} i$$
Donc : $$S=\left\{\frac{2}{3} i\right\}$$

$$4\overline{z}=30-\overline{z}$$
$$4\overline{z}+\overline{z}=30$$
$$5\overline{z}=30$$
$$\overline{z}=\frac{30}{5}$$
$$\overline{z}=6$$$$\overline{\overline{z}} =\overline{6}$$
Ainsi : $$z=6$$
Donc : $$S=\left\{6\right\}$$

$$\left(\overline{z}+2-i\right)\left(2z-4i+7\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\overline{z}+2-i=0$$ ou $$2z-4i+7=0$$
$$\blue{\text{D'une part :}}$$
$$\overline{z}+2-i=0$$ équivaut successivement à
$$\overline{z}=-2+i$$
$$\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-2+i\right)}$$
$$z=-2-i$$
$$\blue{\text{D'autre part :}}$$
$$2z-4i+7=0$$ équivaut successivement à
$$2z=4i-7$$
$$z=2i-\frac{7}{2}$$
Donc les solutions sont alors $$S=\left\{2i-\frac{7}{2} ;-2-i\right\}$$