Nombres complexes : point de vue algébrique

Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 3

6 min
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On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) et soit MM d'affixe zz.
Soit zz un nombre complexe différent de 00, écrit sous la forme z=x+iyz=x+iyxx et yy sont deux réels.
On pose Z=2zZ=\frac{2}{z}
Question 1

Calculez le nombre complexe ZZ sous forme algébrique.

Correction
Soit zz un nombre complexe différent de 00, on pose z=x+iyz=x+iy.
Il vient alors que :
Z=2x+iyZ=\frac{2}{x+iy} . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur .
Z=2(xiy)(x+iy)(xiy)Z=\frac{2\left(x-iy\right)}{\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)}
Z=2x2iyx2+y2Z=\frac{2x-2iy}{x^{2} +y^{2} }
Z=2xx2+y2i2yx2+y2Z=\frac{2x}{x^{2} +y^{2} } -i\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }
On a donc la partie réelle de ZZ qui vaut Re(Z)=2xx2+y2\text{Re}\left(Z\right)=\frac{2x}{x^{2} +y^{2} } et la partie imaginaire de ZZ qui vaut Im(Z)=2yx2+y2\text{Im}\left(Z\right)=-\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }
Question 2

Déterminer l'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel.

Correction
ZZ est un reˊel\red{\text{un réel}} si et seulement sa partie imaginaire est nulle.\red{\text{sa partie imaginaire est nulle.}}
Im(Z)=0\text{Im}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à
2yx2+y2=0-\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car zz est un nombre complexe différent de 00 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
2y=0-2y=0 et z0z\ne 0
y=0y=0 et z0z\ne 0
L'ensemble (E)\left(E\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un réel est donc la droite d'équation y=0y=0 privée du point d'affixe 00 .
Question 3

Déterminer l'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur.

Correction
ZZ est un imaginaire pur\red{\text{un imaginaire pur}} si et seulement sa partie reˊelle est nulle.\red{\text{sa partie réelle est nulle.}}
Ainsi :
Re(Z)=0\text{Re}\left(Z\right)=0 équivaut successivement à :
2xx2+y2=0\frac{2x}{x^{2} +y^{2} }=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car zz est un nombre complexe différent de 00 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
2x=02x=0 et z0z\ne 0
x=0x=0 et z0z\ne 0
L'ensemble (F)\left(F\right) des points MM d'affixe zz tels que ZZ soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation x=0x=0 privée du point d'affixe 00 .