Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe

Soit $Z=z\overline{z}+2iz+3z$
On pose $z=x+iy$ et $\overline{z}=x-iy$, on a alors
$Z=\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)+2i\left(x+iy\right)+3\left(x+iy\right)$ équivaut successivement à
$Z=x^{2} +y^{2} +2ix-2y+3x+3iy$
$Z=x^{2} +y^{2} -2y+3x+i\left(2x+3y\right)$
On a donc la partie réelle de $Z$ qui vaut $\text{Re}\left(Z\right)=x^{2} +y^{2} -2y+3x$ et la partie imaginaire de $Z$ qui vaut $\text{Im}\left(Z\right)=2x+3y$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à
$2x+3y=0$
$3y=-2x$
$y=-\frac{2}{3} x$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est donc la droite d'équation $y=-\frac{2}{3} x$

Ainsi :
$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$x^{2} +y^{2} -2y+3x=0$
$x^{2} +3x+y^{2} -2y=0$
$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} -\left(1\right)^{2} =0$
$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\frac{13}{4}$
$\left(x+\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\frac{\sqrt{13} }{2} \right)^{2}$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $\Omega \left(-\frac{3}{2} ;1\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{13} }{2}$

On pose $z=x+iy$. Ainsi :
$Z=\left(x+iy\right)^{2} +3\left(x+iy\right)-6$ équivaut successivement à
$Z=x^{2} +2ixy-y^{2} +3x+3iy-6$
$Z=x^{2} -y^{2} +3x-6+i\left(2xy+3y\right)$
Ainsi la partie réelle notée est $\text{Re}\left(Z\right)=x^{2} -y^{2} +3x-6$ et la partie imaginaire notée est $\text{Im}\left(Z\right)=2xy+3y$

Donc $\text{Im}\left(Z\right)=0$ c'est à dire $2xy+3y=0$
$2xy+3y=0$ équivaut à $y\left(2x+3\right)=0$ ( équation produit nul )
$y=0{\text{ ou }}2x+3=0$.
Finalement $y=0$ ${\text{ ou }}$ $x=-\frac{3}{2}$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est la réunion de la droite des abscisses et la droite verticale d'équation $x=-\frac{3}{2}$.

Soit $z$ un nombre complexe différent de $0$, on pose $z=x+iy$.
Il vient alors que :
$Z=\frac{2}{x+iy}$ . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur .
$Z=\frac{2\left(x-iy\right)}{\left(x+iy\right)\left(x-iy\right)}$
$Z=\frac{2x-2iy}{x^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{2x}{x^{2} +y^{2} } -i\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }$
On a donc la partie réelle de $Z$ qui vaut $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{2x}{x^{2} +y^{2} }$ et la partie imaginaire de $Z$ qui vaut $\text{Im}\left(Z\right)=-\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à
$-\frac{2y}{x^{2} +y^{2} }=0$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $z$ est un nombre complexe différent de $0$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$-2y=0$ et $z\ne 0$
$y=0$ et $z\ne 0$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est donc la droite d'équation $y=0$ privée du point d'affixe $0$ .

Ainsi :
$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{2x}{x^{2} +y^{2} }=0$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $z$ est un nombre complexe différent de $0$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$2x=0$ et $z\ne 0$
$x=0$ et $z\ne 0$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation $x=0$ privée du point d'affixe $0$ .

Soit $z$ un nombre complexe différent de $4$, on pose $z=x+iy$.
Il vient alors que :
$Z=\frac{1}{z+4}$
$Z=\frac{1}{x+iy+4}$
$Z=\frac{1}{\left(x+4\right)+iy}$ . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur .
$Z=\frac{\left(x+4\right)-iy}{\left(\left(x+4\right)+iy\right)\left(\left(x+4\right)-iy\right)}$
$Z=\frac{\left(x+4\right)-iy}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$
$Z=\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} } -i\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$
On a donc la partie réelle de $Z$ qui vaut $\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$ et la partie imaginaire de $Z$ qui vaut $\text{Im}\left(Z\right)=-\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }$

$\text{Im}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à
$-\frac{y}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }=0$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $z$ est un nombre complexe différent de $-4$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$-y=0$ et $z\ne -4$
$y=0$ et $z\ne -4$
L'ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un réel est donc la droite d'équation $y=0$ privée du point d'affixe $-4$ .

Ainsi :
$\text{Re}\left(Z\right)=0$ équivaut successivement à :
$\frac{x+4}{\left(x+4\right)^{2} +y^{2} }=0$ . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car $z$ est un nombre complexe différent de $-4$ .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule.
Il vient alors que :
$x+4=0$ et $z\ne -4$
$x=-4$ et $z\ne -4$
L'ensemble $\left(F\right)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation $x=-4$ privée du point d'affixe $-4$ .