Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe
Exercice 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe tel que z=x+iy où x et y sont deux réels. On pose Z=zz+2iz+3z
1
Calculez le nombre complexe Z sous forme algébrique.
Correction
Soit Z=zz+2iz+3z On pose z=x+iy et z=x−iy, on a alors Z=(x+iy)(x−iy)+2i(x+iy)+3(x+iy) équivaut successivement à Z=x2+y2+2ix−2y+3x+3iy Z=x2+y2−2y+3x+i(2x+3y) On a donc la partie réelle de Z qui vaut Re(Z)=x2+y2−2y+3x et la partie imaginaire de Z qui vaut Im(Z)=2x+3y
2
Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à 2x+3y=0 3y=−2x y=−32x L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est donc la droite d'équation y=−32x
3
Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Ainsi : Re(Z)=0 équivaut successivement à : x2+y2−2y+3x=0 x2+3x+y2−2y=0 (x+23)2−(23)2+(y−1)2−(1)2=0 (x+23)2+(y−1)2=413 (x+23)2+(y−1)2=(213)2 L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est le cercle de centre Ω(−23;1) et de rayon 213
Exercice 2
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe tel que z=x+iy où x et y sont deux réels. On pose Z=z2+3z−6
1
Calculez le nombre complexe Z sous forme algébrique.
Correction
On pose z=x+iy. Ainsi : Z=(x+iy)2+3(x+iy)−6 équivaut successivement à Z=x2+2ixy−y2+3x+3iy−6 Z=x2−y2+3x−6+i(2xy+3y) Ainsi la partie réelle notée est Re(Z)=x2−y2+3x−6 et la partie imaginaire notée est Im(Z)=2xy+3y
2
Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Donc Im(Z)=0 c'est à dire 2xy+3y=0 2xy+3y=0 équivaut à y(2x+3)=0 ( équation produit nul ) y=0 ou 2x+3=0. Finalement y=0 ou x=−23 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est la réunion de la droite des abscisses et la droite verticale d'équation x=−23.
Exercice 3
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe différent de 0, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. On pose Z=z2
1
Calculez le nombre complexe Z sous forme algébrique.
Correction
Soit z un nombre complexe différent de 0, on pose z=x+iy. Il vient alors que : Z=x+iy2 . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur . Z=(x+iy)(x−iy)2(x−iy) Z=x2+y22x−2iy Z=x2+y22x−ix2+y22y On a donc la partie réelle de Z qui vaut Re(Z)=x2+y22x et la partie imaginaire de Z qui vaut Im(Z)=−x2+y22y
2
Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à −x2+y22y=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car z est un nombre complexe différent de 0 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule. Il vient alors que : −2y=0 et z=0 y=0 et z=0 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est donc la droite d'équation y=0 privée du point d'affixe 0 .
3
Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Ainsi : Re(Z)=0 équivaut successivement à : x2+y22x=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car z est un nombre complexe différent de 0 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule. Il vient alors que : 2x=0 et z=0 x=0 et z=0 L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation x=0 privée du point d'affixe 0 .
Exercice 4
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u;v) et soit M d'affixe z. Soit z un nombre complexe différent de −4, écrit sous la forme z=x+iy où x et y sont deux réels. On pose Z=z+41
1
Calculez le nombre complexe Z sous forme algébrique.
Correction
Soit z un nombre complexe différent de 4, on pose z=x+iy. Il vient alors que : Z=z+41 Z=x+iy+41 Z=(x+4)+iy1 . Pour l'étape suivante, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur . Z=((x+4)+iy)((x+4)−iy)(x+4)−iy Z=(x+4)2+y2(x+4)−iy Z=(x+4)2+y2x+4−i(x+4)2+y2y On a donc la partie réelle de Z qui vaut Re(Z)=(x+4)2+y2x+4 et la partie imaginaire de Z qui vaut Im(Z)=−(x+4)2+y2y
2
Déterminer l'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel.
Correction
Z est un reˊel si et seulement sa partie imaginaire est nulle.
Im(Z)=0 équivaut successivement à −(x+4)2+y2y=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car z est un nombre complexe différent de −4 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule. Il vient alors que : −y=0 et z=−4 y=0 et z=−4 L'ensemble (E) des points M d'affixe z tels que Z soit un réel est donc la droite d'équation y=0 privée du point d'affixe −4 .
3
Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur.
Correction
Z est un imaginaire pur si et seulement sa partie reˊelle est nulle.
Ainsi : Re(Z)=0 équivaut successivement à : (x+4)2+y2x+4=0 . Dans notre situation, le dénominateur ne s'annule pas car z est un nombre complexe différent de −4 .Cela signifie donc que seul le numérateur s'annule. Il vient alors que : x+4=0 et z=−4 x=−4 et z=−4 L'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que Z soit un imaginaire pur est donc la droite d'équation x=−4 privée du point d'affixe −4 .
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