Démontrer la formule du binôme de Newton - Exercice 3

25 min
40
Utiliser la formule du binôme.
Question 1

À l'aide de la formule du binôme, développer (1+i)5\left(1+i\right)^{5} .

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
On applique la formule avec a=ia=i , b=1b=1 et n=5n=5 . Les coefficients se lisent sur la ligne n=5n=5 du triangle de Pascal : 11 , 55 , 1010 , 1010 , 55 , 11 .
(1+i)5=∑k=05(5k)ik15−k\left(1+i\right)^{5}=\sum _{k=0}^{5}\left(\begin{array}{c} {5} \\ {k} \end{array}\right) i^{k} 1^{5-k} équivaut successivement à :
(1+i)5=1×i0+5×i1+10×i2+10×i3+5×i4+1×i5\left(1+i\right)^{5}=\red{1}\times i^{0}+\blue{5}\times i^{1}+\pink{10}\times i^{2}+\purple{10}\times i^{3}+\orange{5}\times i^{4}+\green{1}\times i^{5}
(1+i)5=1+5i+10×(−1)+10×(−i)+5×1+i\left(1+i\right)^{5}=1+5i+10\times \left(-1\right)+10\times \left(-i\right)+5\times 1+i
(1+i)5=1+5i−10−10i+5+i\left(1+i\right)^{5}=1+5i-10-10i+5+i
Ainsi :
(1+i)5=−4−4i\left(1+i\right)^{5}=-4-4i

Question 2

En déduire la valeur des sommes (50)−(52)+(54)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {0} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {4} \end{array}\right) et (51)−(53)+(55)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {5} \end{array}\right) .

Correction
Dans le développement, les puissances paires de ii sont réelles (i0=1,i2=−1,i4=1)\left(i^{0}=1, i^{2}=-1, i^{4}=1\right) et les puissances impaires sont imaginaires (i1=i,i3=−i,i5=i)\left(i^{1}=i, i^{3}=-i, i^{5}=i\right) . On regroupe :
(1+i)5=[(50)−(52)+(54)]+i[(51)−(53)+(55)]\left(1+i\right)^{5}=\left[\left(\begin{array}{c} {5} \\ {0} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {4} \end{array}\right)\right]+i\left[\left(\begin{array}{c} {5} \\ {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {5} \end{array}\right)\right]
Or (1+i)5=−4−4i\left(1+i\right)^{5}=-4-4i . Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, d'où :
(50)−(52)+(54)=−4\left(\begin{array}{c} {5} \\ {0} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {4} \end{array}\right)=-4

et
(51)−(53)+(55)=−4\left(\begin{array}{c} {5} \\ {1} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {5} \end{array}\right)=-4

On vérifie : 1−10+5=−41-10+5=-4 et 5−10+1=−45-10+1=-4 .
Question 3

Démontrer que, pour tout entier naturel nn , ∑k=0n(nk)2k=3n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 2^{k}=3^{n} .

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
∑k=0n(nk)2k=∑k=0n(nk)(2)k×(1)n−k\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 2^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)\left({\color{blue}{2}}\right)^{k} \times \left({\color{red}{1}}\right)^{n-k} . Nous avons ici multiplié par (1)n−k\left({\color{red}{1}}\right)^{n-k} qui est égal à 11 donc cela ne change pas la valeur du produit.
∑k=0n(nk)2k=(2+1)n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 2^{k}=\left({\color{blue}{2}}+{\color{red}{1}}\right)^{n}
Ainsi :
∑k=0n(nk)2k=3n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) 2^{k}=3^{n}

Par exemple, pour n=3n=3 : 1+3×2+3×4+1×8=27=331+3\times 2+3\times 4+1\times 8=27=3^{3} .
Question 4

Développer (1+i3)3\left(1+i\sqrt{3}\right)^{3} . Que remarque-t-on ?

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
On applique la formule avec a=i3a=i\sqrt{3} , b=1b=1 et n=3n=3 (ligne n=3n=3 : 11 , 33 , 33 , 11 ) :
(1+i3)3=1×(i3)0+3×(i3)1+3×(i3)2+1×(i3)3\left(1+i\sqrt{3}\right)^{3}=\red{1}\times \left(i\sqrt{3}\right)^{0}+\blue{3}\times \left(i\sqrt{3}\right)^{1}+\pink{3}\times \left(i\sqrt{3}\right)^{2}+\purple{1}\times \left(i\sqrt{3}\right)^{3}
Or (i3)2=i2×3=−3\left(i\sqrt{3}\right)^{2}=i^{2}\times 3=-3 et (i3)3=i3×33=−33i\left(i\sqrt{3}\right)^{3}=i^{3}\times 3\sqrt{3}=-3\sqrt{3}i . Il vient alors :
(1+i3)3=1+33i−9−33i\left(1+i\sqrt{3}\right)^{3}=1+3\sqrt{3}i-9-3\sqrt{3}i
Ainsi :
(1+i3)3=−8\left(1+i\sqrt{3}\right)^{3}=-8

On remarque que le résultat est un reˊel\red{\text{réel}} : les parties imaginaires se compensent.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.