Démontrer la formule du binôme de Newton - Exercice 2

Étape d'initialisation
Pour $$n=0$$ : $$\left(a+b\right)^{0}=1$$ et $$\sum _{k=0}^{0}\left(\begin{array}{c} {0} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{0-k}=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)a^{0}b^{0}=1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Pour $$n=1$$ : $$\sum _{k=0}^{1}\left(\begin{array}{c} {1} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{1-k}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)a^{0}b^{1}+\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)a^{1}b^{0}=b+a$$ .
Comme $$\left(a+b\right)^{1}=a+b$$ , la propriété $$P_{1}$$ est vraie.

$$\left(a+b\right)^{n+1}=\left(\red{a}+\blue{b}\right)\times \left(a+b\right)^{n}$$
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\left(\red{a}+\blue{b}\right)\times \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}$$ (par hypothèse de récurrence)
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\red{a}\times \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}+\blue{b}\times \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}$$
On fait entrer $$\red{a}$$ dans la première somme et $$\blue{b}$$ dans la seconde : $$\red{a}\times a^{k}=a^{k+1}$$ et $$\blue{b}\times b^{n-k}=b^{n+1-k}$$ . Ainsi :

Avec $$m=k+1$$ , l'indice $$m$$ va de $$1$$ à $$n+1$$ et $$k=m-1$$ , d'où, en notant à nouveau $$k$$ l'indice :
$$\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k+1} b^{n-k}=\sum _{k=1}^{n+1}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k-1} \end{array}\right) a^{k} b^{n+1-k}$$
On sort le $$\red{\text{dernier terme}}$$ de la première somme $$\left(k=n+1\right)$$ et le $$\blue{\text{premier terme}}$$ de la seconde $$\left(k=0\right)$$ :
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\red{\left(\begin{array}{c} {n} \\ {n} \end{array}\right)a^{n+1}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k-1} \end{array}\right) a^{k} b^{n+1-k}+\blue{\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right)b^{n+1}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n+1-k}$$
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\blue{b^{n+1}}+\sum _{k=1}^{n}\left[\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)\right] a^{k} b^{n+1-k}+\red{a^{n+1}}$$
Pour $$1\le k\le n$$ , la relation de Pascal (avec $$k-1$$ à la place de $$k$$ ) donne : $$\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k-1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k} \end{array}\right)$$ .
De plus $$\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {n+1} \end{array}\right)=1$$ . Il vient alors :
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {0} \end{array}\right)a^{0}b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n+1-k}+\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {n+1} \end{array}\right)a^{n+1}b^{0}$$
$$\left(a+b\right)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n+1-k}$$
Ainsi la propriété $$P_{n+1}$$ est vraie.

Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $$n$$ :