Démontrer la formule du binôme de Newton - Exercice 1

20 min
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La relation de Pascal.
Question 1

Calculer (52)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right) , (53)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right) et (63)\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right) , puis vérifier que (52)+(53)=(63)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right) .

Correction
Pour tous entiers naturels nn et kk tels que 0≤k≤n0\le k\le n : (nk)=n!k!(n−k)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!} où n!=1×2×…×nn!=1\times 2\times \ldots \times n pour n≥1n\geq 1 et 0!=10!=1 .
(52)=5!2!×3!=1202×6=10\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)=\dfrac{5!}{2!\times 3!}=\dfrac{120}{2\times 6}=10
(53)=5!3!×2!=1206×2=10\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)=\dfrac{5!}{3!\times 2!}=\dfrac{120}{6\times 2}=10
(63)=6!3!×3!=7206×6=20\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)=\dfrac{6!}{3!\times 3!}=\dfrac{720}{6\times 6}=20
On a bien :
(52)+(53)=10+10=20=(63)\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \end{array}\right)=10+10=20=\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)

Dans le triangle de Pascal, 2020 est la somme des deux nombres placés au-dessus de lui :
Question 2

Soient nn et kk deux entiers naturels tels que 0≤k≤n−10\le k\le n-1 . Démontrer que : (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k+1} \end{array}\right) .

Correction
Pour tous entiers naturels nn et kk tels que 0≤k≤n0\le k\le n : (nk)=n!k!(n−k)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!} où n!=1×2×…×nn!=1\times 2\times \ldots \times n pour n≥1n\geq 1 et 0!=10!=1 .
(nk)+(nk+1)=n!k!(n−k)!+n!(k+1)!(n−k−1)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}+\dfrac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}
On réduit au même dénominateur (k+1)!(n−k)!\left(k+1\right)!\left(n-k\right)! , en utilisant (k+1)!=(k+1)×k!\left(k+1\right)!=\left(k+1\right)\times k! et (n−k)!=(n−k)×(n−k−1)!\left(n-k\right)!=\left(n-k\right)\times \left(n-k-1\right)! :
(nk)+(nk+1)=n!×(k+1)(k+1)!(n−k)!+n!×(n−k)(k+1)!(n−k)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\dfrac{n!\times \red{\left(k+1\right)}}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}+\dfrac{n!\times \blue{\left(n-k\right)}}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}
(nk)+(nk+1)=n!×(k+1+n−k)(k+1)!(n−k)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\dfrac{n!\times \left(\red{k+1}+\blue{n-k}\right)}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}
(nk)+(nk+1)=n!×(n+1)(k+1)!(n−k)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\dfrac{n!\times \left(n+1\right)}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}
(nk)+(nk+1)=(n+1)!(k+1)!((n+1)−(k+1))!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(k+1\right)!\left(\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right)!}
Ainsi :
(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n+1} \\ {k+1} \end{array}\right)

C'est la relation de Pascal : elle sert à construire le triangle de Pascal ligne par ligne.

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