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Nombres complexes : point de vue algébrique

Calculs algébriques : la somme et le produit de deux nombres complexes - Exercice 1

15 min
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Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants

Il faut développer les expressions si besoin avec la distributivité ou les identités remarquables, puis regrouper les parties réelles et les parties imaginaires.
i2=−1i^2=-1
Question 1

z1=1+2i−5+7iz_{1} =1+2i-5+7i

Correction
z1=1+2i−5+7iz_{1} =\red{1}\blue{+2i}\red{-5}\blue{+7i}
z1=−4+9iz_{1} =\red{-4}\blue{+9i}
Question 2

z2=2(1+2i)−4(2−2i)z_{2} =2\left(1+2i\right)-4\left(2-2i\right)

Correction
z2=2(1+2i)−4(2−2i)z_{2} =2\left(1+2i\right)-4\left(2-2i\right) équivaut successivement à :
z2=2×1+2×2i−4×2−4×(−2i)z_{2} =2\times 1+2\times 2i-4\times 2-4\times \left(-2i\right)
z2=2+4i−8+8iz_{2} =2+4i-8+8i
Ainsi :
z2=−6+12iz_{2} =-6+12i

Question 3

z3=(2+i)(3−4i)z_{3} =\left(2+i\right)\left(3-4i\right)

Correction
  • i2=−1i^{2}=-1
    • z3=(2+i)(3−4i)z_{3} =\left(2+i\right)\left(3-4i\right) équivaut successivement à :
    z3=2×3+2×(−4i)+3i−4i×iz_{3} =2\times 3+2\times \left(-4i\right)+3i-4i\times i
    z3=2×3+2×(−4i)+3i−4i2z_{3} =2\times 3+2\times \left(-4i\right)+3i-4\red{i^{2}}
    z3=6−8i+3i−4×(−1)z_{3} =6-8i+3i-4\times\red{\left(-1\right)}
    z3=6−8i+3i+4z_{3} =6-8i+3i+4
    Ainsi :
    z3=10−5iz_{3} =10-5i
    Question 4

    z4=(2−3i)(2−6i)z_{4} =\left(2-3i\right)\left(2-6i\right)

    Correction
  • i2=−1i^{2}=-1
    • z4=(2−3i)(2−6i)z_{4} =\left(2-3i\right)\left(2-6i\right) équivaut successivement à :
    z4=4−12i−6i+18i2z_{4} =4-12i-6i+18\red{i^{2}}
    z4=4−12i−6i+18×(−1)z_{4} =4-12i-6i+18\times\red{\left(-1\right)}
    z4=4−12i−6i−18z_{4} =4-12i-6i-18
    Ainsi :
    z4=−14−18iz_{4} =-14-18i
    Question 5

    z5=(3−2i)2z_{5} =\left(3-2i\right)^{2}

    Correction
  • i2=−1i^{2}=-1
    • z5=(3−2i)2z_{5} =\left(3-2i\right)^{2} équivaut successivement à :
    z5=32−2×3×(2i)+(2i)2z_{5} =3^{2} -2\times 3\times \left(2i\right)+\left(2i\right)^{2}
    z5=9−12i+4i2z_{5} =9 -12i+4i^{2}
    z5=9−12i+4×(−1)z_{5} =9 -12i+4\times\left(-1\right)
    z5=9−12i−4z_{5} =9-12i-4
    Ainsi :
    z5=5−12iz_{5} =5-12i

    Question 6

    z6=(5+3i)2z_{6} =\left(5+3i\right)^{2}

    Correction
    z6=(5+3i)2z_{6} =\left(5+3i\right)^{2} équivaut successivement à :
    z6=52+2×5×3i+(3i)2z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+\left(3i\right)^{2}
    z6=52+2×5×3i+9i2z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+9i^{2}
    z6=52+2×5×3i+9×(−1)z_{6} =5^{2} +2\times 5\times 3i+9\times\left(-1\right)
    z6=25+30i−9z_{6} =25 +30i-9
    Ainsi :
    z6=16+30iz_{6} =16+30i
    Question 7

    z7=(3−2i)(1−i)+2(4−3i)z_{7} =\left(3-2i\right)\left(1-i\right)+2\left(4-3i\right)

    Correction
    z7=3−3i−2i+2i2+8−6iz_{7} =3-3i-2i+2i^{2} +8-6i équivaut successivement à :
    z7=3−3i−2i+2×(−1)+8−6iz_{7} =3-3i-2i+2\times\left(-1\right)+8-6i
    z7=3−3i−2i−2+8−6iz_{7} =3-3i-2i-2+8-6i
    Finalement :
    z7=9−11iz_{7} =9-11i
    Question 8

    z8=(1+i)(2+4i)−(1+2i)2z_{8} =\left(1+i\right)\left(2+4i\right)-\left(1+2i\right)^{2}

    Correction
    z8=2+4i+2i+4i2−(1+4i+4i2)z_{8} =2+4i+2i+4i^{2} -\left(1+4i+4i^{2} \right) équivaut successivement à :
    z8=2+4i+2i−4−(1+4i−4)z_{8} =2+4i+2i-4-\left(1+4i-4\right)
    z8=2+4i+2i−4−1−4i+4z_{8} =2+4i+2i-4-1-4i+4
    Ainsi :
    z8=1+2iz_{8} =1+2i
    Question 9

    z9=(1+i)(2+3i)(1−2i)z_{9} =\left(1+i\right)\left(2+3i\right)\left(1-2i\right)

    Correction
    Ici on développe les deux premiers facteurs, on réduit puis ensuite on développe le résultat avec le troisième facteur
    z9=(1+i)(2+3i)(1−2i)z_{9} =\left(1+i\right)\left(2+3i\right)\left(1-2i\right) équivaut successivement à
    z9=(2+3i+2i+3i2)(1−2i)z_{9} =\left(2+3i+2i+3i^{2} \right)\left(1-2i\right)
    z9=(2+3i+2i−3)(1−2i)z_{9} =\left(2+3i+2i-3\right)\left(1-2i\right)
    z9=(−1+5i)(1−2i)z_{9} =\left(-1+5i\right)\left(1-2i\right)
    z9=−1+2i+5i−10i2z_{9} =-1+2i+5i-10i^{2}
    z9=−1+2i+5i+10z_{9} =-1+2i+5i+10
    Ainsi :
    z9=9+7iz_{9} =9+7i