Nombres complexes : point de vue algébrique

Appliquer la formule du binôme de Newton - Exercice 4

3 min
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Question 1

Soient nn et kk des entiers naturels tels que n≥kn\ge k. Montrer que ∑k=0n(nk)=2n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) =2^{n} .

Correction
    Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left({\color{blue}{a}}+{\color{red}{b}}\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) {\color{blue}{a}}^{k} {\color{red}{b}}^{n-k}
∑k=0n(nk)=∑k=0n(nk)(1)k×(1)n−k\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)\left({\color{blue}{1}}\right)^{k} \times \left({\color{red}{1}}\right)^{n-k} .Nous avons ici multiplier par (1)n−k\left({\color{red}{1}}\right)^{n-k} et par (1)k\left({\color{blue}{1}}\right)^{k} qui sont tous les deux égaux à 11 donc cela ne change pas la valeur du produit.
∑k=0n(nk)=(1+1)n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\left({\color{blue}{1}}+{\color{red}{1}}\right)^{n}
Ainsi :
∑k=0n(nk)=2n\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) =2^{n}