Modéliser une situation par un graphe - Exercice 2

Chaque arête a deux extrémités : elle est comptée une fois dans le degré de chacune d'elles, donc deux fois dans la somme des degrés (une boucle est comptée deux fois dans le degré de son unique sommet).
Ainsi :

D'après la question $$1$$, la somme des degrés est un nombre pair.
La somme des degrés pairs est paire, donc la somme des degrés impairs est elle aussi paire (c'est la différence de deux nombres pairs).
Or une somme de nombres impairs est paire si et seulement si elle comporte un nombre pair de termes.
Finalement :

Le graphe aurait $$7$$ sommets de degré $$3$$ , donc $$7$$ sommets de degré impair : c'est un nombre impair, ce qui est impossible d'après la question $$2$$ .
On peut aussi le voir avec la somme des degrés : $$7\times 3=21$$ est impair, alors qu'elle doit être égale au double du nombre d'arêtes.
Finalement :

Cette fois, la situation est possible, par exemple avec le graphe ci-dessous, dans lequel chaque sommet est de degré $$3$$ :

Chaque poignée de main est une arête, donc d'après la question $$1$$ :
$$\text{nombre d'arêtes}=\dfrac{6\times 3}{2}$$
Ainsi :