Graphe complet, chaînes, longueur d'une chaîne et distance - Exercice 2

Dans $$A-B-D-F-G$$ , les sommets $$A$$ et $$B$$ , $$B$$ et $$D$$ , $$D$$ et $$F$$ , $$F$$ et $$G$$ sont adjacents :
Dans $$A-D-E-G$$ , les sommets $$A$$ et $$D$$ ne sont pas adjacents :

Par exemple, $$A-B-C-D-E-G$$ est une chaîne (deux sommets consécutifs sont toujours adjacents) qui comporte $$5$$ arêtes.

Il n'y a aucune arête entre un sommet de $$\left\{A;B;C\right\}$$ et un sommet de $$\left\{E;F;G\right\}$$ : toute chaîne reliant $$A$$ à $$G$$ passe donc par $$D$$ .
Comme $$A$$ et $$D$$ ne sont pas adjacents, il faut au moins $$2$$ arêtes pour aller de $$A$$ à $$D$$ ; de même, il faut au moins $$2$$ arêtes pour aller de $$D$$ à $$G$$ . Une chaîne reliant $$A$$ à $$G$$ a donc une longueur supérieure ou égale à $$4$$ .
Or $$A-B-D-E-G$$ est une chaîne de longueur $$4$$ .
Finalement :

D'après la question $$3$$ , une telle chaîne passe par $$D$$ et s'écrit $$A-x-D-y-G$$ , où $$x$$ est un voisin de $$A$$ ($$B$$ ou $$C$$) et $$y$$ un voisin de $$G$$ ($$E$$ ou $$F$$). Cela donne $$2\times 2=4$$ chaînes :
$$A-B-D-E-G$$ ; $$A-B-D-F-G$$ ; $$A-C-D-E-G$$ ; $$A-C-D-F-G$$
Ainsi :

Deux sommets de $$\left\{A;B;C;D\right\}$$ sont à distance $$1$$ , sauf $$A$$ et $$D$$ qui sont à distance $$2$$ ($$A-B-D$$). De même, deux sommets de $$\left\{D;E;F;G\right\}$$ sont à distance au plus $$2$$ .
Si $$x$$ est dans $$\left\{A;B;C\right\}$$ et $$y$$ dans $$\left\{E;F;G\right\}$$ , toute chaîne qui les relie passe par $$D$$ , donc la distance entre $$x$$ et $$y$$ est la somme de leurs distances à $$D$$ . Or $$D$$ est à distance $$1$$ de $$B$$ , $$C$$ , $$E$$ et $$F$$ , et à distance $$2$$ de $$A$$ et de $$G$$ : la distance entre $$x$$ et $$y$$ est donc au plus $$2+2=4$$ , et elle vaut $$4$$ seulement pour $$A$$ et $$G$$ (question $$3$$).
Finalement :