Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 3

15 min
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Dans un club, on organise des matchs entre joueurs : deux joueurs ne se rencontrent jamais plus d'une fois.
Barème : 5 points
Question 1

Six joueurs se rencontrent chacun une fois. Combien de matchs sont joués ?

Correction
On modélise par le graphe complet K6K_{6} : les joueurs sont les sommets et les matchs les arêtes. Chaque sommet est de degré 55 , donc :
nombre d’areˆtes=6×52=15\text{nombre d'arêtes}=\dfrac{6\times 5}{2}=15
Ainsi :
1515 matchs sont joués

Question 2

Avec neuf joueurs, peut-on organiser les matchs pour que chacun joue exactement trois matchs ?

Correction
Le graphe aurait 99 sommets de degré 33 , donc une somme des degrés égale à 9×3=279\times 3=27 , qui est impaire. Or la somme des degrés est égale au double du nombre d'arêtes, donc paire.
Finalement :
ce n'est pas possible

Question 3

Avec dix joueurs, chacun jouant exactement trois matchs, combien de matchs seraient joués ?

Correction
La somme des degrés serait 10×3=3010\times 3=30 , donc :
nombre d’areˆtes=302=15\text{nombre d'arêtes}=\dfrac{30}{2}=15
Ainsi :
1515 matchs seraient joués

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