Systèmes linéaires : aucune ou une infinité de solutions, interpolation et modélisation - Exercice 1

20 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}     \;\; 2°)  Repreˊsenter.{\color{red}2°)\;Représenter.}
On considère les systèmes S1:{2x+3y=54x+6y=7S_{1}:\left\{\begin{array}{ccccc} {2x} & {+} & {3y} & {=} & {5} \\ {4x} & {+} & {6y} & {=} & {7} \end{array}\right. et S2:{2x+3y=54x+6y=10S_{2}:\left\{\begin{array}{ccccc} {2x} & {+} & {3y} & {=} & {5} \\ {4x} & {+} & {6y} & {=} & {10} \end{array}\right. .
Question 1

Écrire S1S_{1} sous la forme AX=BAX=B et calculer det⁡(A)\det \left(A\right) . Peut-on utiliser la formule X=A−1BX=A^{-1}B ?

Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c} .
  • La matrice AA est inversible\red{\text{inversible}} si et seulement si det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 et la matrice inverse de AA est égale à A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
Le système S1S_{1} s'écrit sous forme matricielle AX=BAX=B avec A=(2346)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {3} \\ {4} & {6} \end{array}\right) ; X=(xy)X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) et B=(57)B=\left(\begin{array}{c} {5} \\ {7} \end{array}\right) .
det⁡(A)=2×6−3×4=12−12\det \left(A\right)=2\times 6-3\times 4=12-12 d'où
det⁡(A)=0\det \left(A\right)=0

La matrice AA n'est donc pas inversible : on ne peut pas utiliser X=A−1BX=A^{-1}B .
Question 2

Démontrer que S1S_{1} n'a aucune solution. Interpréter graphiquement.

Correction
En divisant la deuxième équation par 22 , le système S1S_{1} équivaut à : {2x+3y=52x+3y=72\left\{\begin{array}{ccccc} {2x} & {+} & {3y} & {=} & {5} \\ \rule{0pt}{1.9em}{2x} & {+} & {3y} & {=} & {\dfrac{7}{2}} \end{array}\right.
La même quantité 2x+3y2x+3y ne peut pas valoir à la fois 55 et 72\dfrac{7}{2} :
S1S_{1} n'a aucune solution : S=∅S=\varnothing

Graphiquement, les droites d1:2x+3y=5d_{1}:2x+3y=5 et d2:4x+6y=7d_{2}:4x+6y=7 ont le même vecteur directeur u→(−3;2)\overrightarrow{u}\left(-3;2\right) : elles sont parallèles et distinctes, elles n'ont aucun point commun.
Question 3

Démontrer que S2S_{2} a une infinité de solutions et en donner trois.

Correction
La deuxième équation de S2S_{2} est la première multipliée par 22 : S2S_{2} équivaut à la seule équation 2x+3y=52x+3y=5 , c'est-à-dire y=5−2x3y=\dfrac{5-2x}{3} .
Pour chaque réel xx on obtient une solution :
S2S_{2} a une infinité de solutions, les couples (x;5−2x3)\left(x;\dfrac{5-2x}{3}\right)

Par exemple (1;1)\left(1;1\right) , (−2;3)\left(-2;3\right) et (4;−1)\left(4;-1\right) . Graphiquement, les deux équations décrivent la même droite d1d_{1} .
À retenir : quand det⁡(A)=0\det \left(A\right)=0 , le système a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

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