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Savoir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et donner sa matrice inverse - Exercice 3

5 min

Question 1

Soit

A=\left(\begin{array}{cc} {-4} & {1} \\ {9} & {-3} \end{array}\right)

une matrice carrée d'ordre

2

La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui donner alors la matrice inverse $A^{-1}$ .

Correction

Soit $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)$ une matrice carrée d'ordre $2$ . On appelle $\red{\text{déterminant}}$ de $A$ le nombre $\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}$ .
Une matrice est $\red{\text{inversible}}$ si et seulement si $\det \left(A\right)\ne 0$ et la matrice inverse de $A$ est égale à $A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$

Soit

A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-4}} & {\blue{1}} \\ {\pink{9}} & {\green{-3}} \end{array}\right)

On a :

\det \left(A\right)=\red{-4}\times \left(\green{-3}\right)-\blue{1}\times \pink{9}

\det \left(A\right)=12-9

Finalement :

\det \left(A\right)=3

Comme

\det \left(A\right)\ne 0

alors la matrice

A

est

\red{\text{inversible}}

.
La matrice inverse de

A

notée

A^{-1}

est alors égale à :

A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)

A^{-1} =\frac{1}{3} \left(\begin{array}{cc} {\green{-3}} & {-\blue{1}} \\ {-\pink{9}} & {\red{-4}} \end{array}\right)

Finalement :

A^{-1} =\frac{1}{3} \left(\begin{array}{cc} {-3} & {-1} \\ {-9} & {-4} \end{array}\right)

que l'on peut également écrire sous la forme :

A^{-1} =-\frac{1}{3} \left(\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {9} & {4} \end{array}\right)

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