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Calcul matriciel
Savoir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et donner sa matrice inverse - Exercice 2
2 min
5
Question 1
Soit
A
=
(
4
2
2
1
)
A=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {2} & {1} \end{array}\right)
A
=
(
4
2
2
1
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
.
La matrice
A
A
A
est-elle inversible? Si oui donner alors la matrice inverse
A
−
1
A^{-1}
A
−
1
.
Correction
Soit
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)
A
=
(
a
c
b
d
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
. On appelle
d
e
ˊ
terminant
\red{\text{déterminant}}
d
e
ˊ
terminant
de
A
A
A
le nombre
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
.
Une matrice est
inversible
\red{\text{inversible}}
inversible
si et seulement si
det
(
A
)
≠
0
\det \left(A\right)\ne 0
det
(
A
)
=
0
et la matrice inverse de
A
A
A
est égale à
A
−
1
=
1
det
(
A
)
(
d
−
b
−
c
a
)
A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
A
−
1
=
det
(
A
)
1
(
d
−
c
−
b
a
)
Soit
A
=
(
4
2
2
1
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{4}} & {\blue{2}} \\ {\pink{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)
A
=
(
4
2
2
1
)
On a :
det
(
A
)
=
4
×
1
−
2
×
2
\det \left(A\right)=\red{4}\times \green{1}-\blue{2}\times \pink{2}
det
(
A
)
=
4
×
1
−
2
×
2
det
(
A
)
=
4
−
4
\det \left(A\right)=4-4
det
(
A
)
=
4
−
4
Finalement :
det
(
A
)
=
0
\det \left(A\right)=0
det
(
A
)
=
0
Comme
det
(
A
)
=
0
\det \left(A\right)=0
det
(
A
)
=
0
alors la matrice
A
A
A
n’est pas inversible
\red{\text{n'est pas inversible}}
n’est pas inversible
.