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Savoir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et donner sa matrice inverse - Exercice 2

2 min

Question 1

Soit

A=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {2} & {1} \end{array}\right)

une matrice carrée d'ordre

2

La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui donner alors la matrice inverse $A^{-1}$ .

Correction

Soit $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)$ une matrice carrée d'ordre $2$ . On appelle $\red{\text{déterminant}}$ de $A$ le nombre $\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}$ .
Une matrice est $\red{\text{inversible}}$ si et seulement si $\det \left(A\right)\ne 0$ et la matrice inverse de $A$ est égale à $A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$

Soit

A=\left(\begin{array}{cc} {\red{4}} & {\blue{2}} \\ {\pink{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)

On a :

\det \left(A\right)=\red{4}\times \green{1}-\blue{2}\times \pink{2}

\det \left(A\right)=4-4

Finalement :

\det \left(A\right)=0

Comme

\det \left(A\right)=0

alors la matrice

A

\red{\text{n'est pas inversible}}

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