Résoudre un système linéaire à l'aide de matrices - Exercice 3

Notons $$f$$ la fonction polynôme du second degré telle que : $$f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ où $$a$$ est un réel non nul et $$b$$ et $$c$$ deux réels.
Nous savons que la courbe représentative est une parabole $$\mathscr{C_f}$$ passant par les points $$A\left(-1;9\right)$$, $$B\left(2;6\right)$$ et $$C\left(5;39\right)$$. Cela se traduit donc par $$f\left(-1\right)=9$$ ; $$f\left(2\right)=6$$ et $$f\left(5\right)=39$$ .
Il en résulte donc que :

$$f\left(-1\right)=9\Leftrightarrow a\times \left(-1\right)^{2} +b\times \left(-1\right)+c=9\Leftrightarrow a-b+c=9$$

$$f\left(2\right)=6\Leftrightarrow a\times 2^{2} +b\times 2+c=6\Leftrightarrow 4a+2b+c=6$$

$$f\left(5\right)=39\Leftrightarrow a\times 5^{2} +b\times 5+c=39\Leftrightarrow 25a+5b+c=39$$

Nous obtenons donc un système linéaire que l'on note $$S_{3}$$ .
$$S_{3} :\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {-} & {b} & {+} & {c} & {=} & {9} \\ {4a} & {+} & {2b} & {+} & {c} & {=} & {6} \\ {25a} & {+} & {5b} & {+} & {c} & {=} & {39} \end{array}\right.$$

$$S_{3} :\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {-} & {b} & {+} & {c} & {=} & {9} \\ {4a} & {+} & {2b} & {+} & {c} & {=} & {6} \\ {25a} & {+} & {5b} & {+} & {c} & {=} & {39} \end{array}\right.$$
Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {-1} & {1} \\ {4} & {2} & {1} \\ {25} & {5} & {1} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {9} \\ {6} \\ {39} \end{array}\right)$$.

D'après la calculatrice, la matrice inverse de $$A$$ notée $$A^{-1}$$ s'écrit :
$$A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{18} } & {-\frac{1}{9} } & {\frac{1}{18} } \\ {-\frac{7}{18} } & {\frac{4}{9} } & {-\frac{1}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {\frac{5}{9} } & {-\frac{1}{9} } \end{array}\right)$$

Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$
Nous savons alors que :
$$AX=B$$
$$\red{A^{-1}} \times AX=\red{A^{-1}} \times B$$ . On a introduit la matrice $$\red{A^{-1}}$$ et on rappelle que $$\red{A^{-1}} \times A=I_{3}$$
$$I_{3} \times X=A^{-1} \times B$$
$$X=A^{-1} \times B$$
Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )$$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{18} } & {-\frac{1}{9} } & {\frac{1}{18} } \\ {-\frac{7}{18} } & {\frac{4}{9} } & {-\frac{1}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {\frac{5}{9} } & {-\frac{1}{9} } \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {9} \\ {6} \\ {39} \end{array}\right)$$
En faisant le calcul à l'aide de la calculatrice, on obtient :
$$X= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {4} \end{array}\right)$$
Finalement, la la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole $$\mathscr{C_f}$$ passant par les points $$A\left(-1;9\right)$$, $$B\left(2;6\right)$$ et $$C\left(5;39\right)$$ s'écrit $$f\left(x\right)=2x^2-3x+4$$