Calcul matriciel

Résoudre un système linéaire à l'aide de matrices - Exercice 2

8 min
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Question 1
On considère le système linéaire suivant : S2:{2x+3y−2z=23x+5y+z=16−x+y+3z=10S_{2}:\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x} & {+} & {3y} & {-} & {2z} & {=} & {2} \\ {3x} & {+} & {5y} & {+} & {z} & {=} & {16} \\ {-x} & {+} & {y} & {+} & {3z} & {=} & {10} \end{array}\right.

Ecrire ce système sous la forme matricielle AX=BAX=B en précisant AA, XX et BB .

Correction
Le système S2S_{2} s'écrit sous forme matricielle AX=BAX=B avec A=(23−2351−113)A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {3} & {-2} \\ {3} & {5} & {1} \\ {-1} & {1} & {3} \end{array}\right) ; X=(xyz)X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) et B=(21610)B=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {16} \\ {10} \end{array}\right) .
Question 2

A l'aide de la calculatrice déterminer la matrice inverse de AA .

Correction
D'après la calculatrice, la matrice inverse de AA notée A−1A^{-1} s'écrit :
A−1=(−791118−131859−2949−49518−118)A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{7}{9} } & {\frac{11}{18} } & {-\frac{13}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {-\frac{2}{9} } & {\frac{4}{9} } \\ {-\frac{4}{9} } & {\frac{5}{18} } & {-\frac{1}{18} } \end{array}\right)
Question 3

En déduire une solution du système linéaire S2S_{2} .

Correction
Le système S2S_{2} s'écrit sous forme matricielle AX=BAX=B
Nous savons alors que :
AX=BAX=B
A−1×AX=A−1×B\red{A^{-1}} \times AX=\red{A^{-1}} \times B . On a introduit la matrice A−1\red{A^{-1}} et on rappelle que A−1×A=I3\red{A^{-1}} \times A=I_{3}
I3×X=A−1×BI_{3} \times X=A^{-1} \times B
X=A−1×BX=A^{-1} \times B
Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )
Si AA est inversible alors le système d'équation linéaires dont l'écriture matricielle est AX=BAX=B admet une unique solution. La solution est obtenue en calculant X=A−1BX=A^{-1}B .
X=(−791118−131859−2949−49518−118)×(21610)X=\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{7}{9} } & {\frac{11}{18} } & {-\frac{13}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {-\frac{2}{9} } & {\frac{4}{9} } \\ {-\frac{4}{9} } & {\frac{5}{18} } & {-\frac{1}{18} } \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {16} \\ {10} \end{array}\right)
En faisant le calcul à l'aide de la calculatrice, on obtient :
X=(123)X= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)
Le triplet solution est alors
S={(1;2;3)}S=\left\{\left(1;2;3\right)\right\}