Résoudre un système linéaire à l'aide de matrices - Exercice 2

Le système $$S_{2}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {3} & {-2} \\ {3} & {5} & {1} \\ {-1} & {1} & {3} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {16} \\ {10} \end{array}\right)$$ .

D'après la calculatrice, la matrice inverse de $$A$$ notée $$A^{-1}$$ s'écrit :
$$A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{7}{9} } & {\frac{11}{18} } & {-\frac{13}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {-\frac{2}{9} } & {\frac{4}{9} } \\ {-\frac{4}{9} } & {\frac{5}{18} } & {-\frac{1}{18} } \end{array}\right)$$

Le système $$S_{2}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$
Nous savons alors que :
$$AX=B$$
$$\red{A^{-1}} \times AX=\red{A^{-1}} \times B$$ . On a introduit la matrice $$\red{A^{-1}}$$ et on rappelle que $$\red{A^{-1}} \times A=I_{3}$$
$$I_{3} \times X=A^{-1} \times B$$
$$X=A^{-1} \times B$$
Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )$$X=\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{7}{9} } & {\frac{11}{18} } & {-\frac{13}{18} } \\ {\frac{5}{9} } & {-\frac{2}{9} } & {\frac{4}{9} } \\ {-\frac{4}{9} } & {\frac{5}{18} } & {-\frac{1}{18} } \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2} \\ {16} \\ {10} \end{array}\right)$$
En faisant le calcul à l'aide de la calculatrice, on obtient :
$$X= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)$$
Le triplet solution est alors