Résoudre un système linéaire à l'aide de matrices - Exercice 1

Le système $$S_{1}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {3} \\ {5} & {7} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {5} \\ {12} \end{array}\right)$$ .

Nous avons $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{3}} \\ {\pink{5}} & {\green{7}} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{7}-\blue{3}\times \pink{5}$$
$$\det \left(A\right)=14-15$$
Finalement :
Comme $$\det \left(A\right)\ne 0$$ alors la matrice $$A$$ est alors $$\red{\text{inversible}}$$.

Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{3}} \\ {\pink{5}} & {\green{7}} \end{array}\right)$$
La matrice inverse de $$A$$ notée $$A^{-1}$$ est alors égale à :
$$A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$$
$$A^{-1} =\frac{1}{-1} \left(\begin{array}{cc} {\green{7}} & {-\blue{3}} \\ {-\pink{5}} & {\red{2}} \end{array}\right)$$
Finalement :

Le système $$S_{1}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$
Nous savons alors que :
$$AX=B$$
$$\red{A^{-1}} \times AX=\red{A^{-1}} \times B$$ . On a introduit la matrice $$\red{A^{-1}}$$ et on rappelle que $$\red{A^{-1}} \times A=I_{2}$$
$$I_{2} \times X=A^{-1} \times B$$
$$X=A^{-1} \times B$$
Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )$$X=\left(\begin{array}{cc} {-7} & {3} \\ {5} & {-2} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {5} \\ {12} \end{array}\right)$$
$$X=\left(\begin{array}{c} {-7\times 5+3\times 12} \\ {5\times 5-2\times 12} \end{array}\right)$$
Ainsi : $$X= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)$$
Le couple solution est alors