Puissances de matrices : matrices triangulaires, relation A² = aA + bI et algorithme - Exercice 1

$$A^{2}=A\times A$$ . Il vient alors que :
$$A^{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 1+2\times 0} & {1\times 2+2\times 1} \\ {0\times 1+1\times 0} & {0\times 2+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$A^{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
Ainsi :
$$A^{3}=A^{2}\times A$$ . Il vient alors que :
$$A^{3}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 1+4\times 0} & {1\times 2+4\times 1} \\ {0\times 1+1\times 0} & {0\times 2+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$A^{3}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1} & {6} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
Ainsi :

Le coefficient en haut à droite augmente de $$2$$ à chaque puissance ($$2$$ , $$4$$ , $$6$$), les autres ne changent pas.
On conjecture que, pour tout entier naturel $$n$$ :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :A^{n}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2n} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
$$\red{\text{Étape d'initialisation :}}$$
Pour $$n=0$$ : $$A^{0}=I_{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$ et $$\left(\begin{array}{cc} {1} & {2\times 0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\red{\text{Étape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$A^{k}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2k} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$A^{k+1}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2\left(k+1\right)} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
Nous savons que $$A^{k+1}=A^{k}\times A$$ .
$$A^{k+1}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2k} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 1+2k\times 0} & {1\times 2+2k\times 1} \\ {0\times 1+1\times 0} & {0\times 2+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$A^{k+1}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2+2k} \\ {0} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2\left(k+1\right)} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :