Puissance de matrices - Exercice 2

Avec la calculatrice, on vérifie que :
$$A^{2}=A$$
$$A^{3}=A$$
$$A^{4}=A$$
$$A^{5}=A$$

Soit $$n$$ un entier naturel non nul , on conjecture que :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :A^{n} =A$$
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
On sait que $$A^{1}=A$$
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$A^{k} =A$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$A^{k+1} =A$$
Nous savons que $$A^{k+1} =A^{k} \times A$$ .
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0\times 0+0\times 0+0\times 0} & {0\times 0+0\times 1+0\times 0} & {0\times 0+0\times 1+0\times 0} \\ {0\times 0+1\times 0+1\times 0} & {0\times 0+1\times 1+1\times 0} & {0\times 0+1\times 1+1\times 0} \\ {0\times 0+0\times 0+0\times 0} & {0\times 0+0\times 1+0\times 0} & {0\times 0+0\times 1+0\times 0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)}}$$
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)}}$$
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$$
Ainsi : $$A^{k+1} =A$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$ non nul , on a bien :